En las matemáticas, más específicamente en la álgebra del extracto, un subgrupo normal es una clase especial del subgrupo . Los subgrupos normales son importantes porque pueden ser utilizados para construir los grupos del cociente de un grupo dado .

El Évariste Galois era el primer para realizar la importancia de la existencia de subgrupos normales.

Definiciones

Un N del subgrupo de un G del grupo se llama un subgrupo normal si es invariante bajo conjugación ; es decir, para cada n del elemento en el N y cada g en el G, el &minus del gng elemento; 1 todavía está en el N . Escribimos

N \ triangleleft G \, \, \ mathrm {iff} \, \, \ forall \, n \ adentro {N}, g \ en {G} \ gng^ {- 1} \ en {N}

Las condiciones siguientes son el equivalente a requerir que un N del subgrupo sea normal en el G . De ellas se puede tomar como la definición:

para todo el g en el G, &minus del gNg del ; &sube 1; N .

  • Para todo el g en el G, &minus del gNg del ; 1 = N .
  • Los sistemas de izquierdo y derecho Cosets del N en el G coinciden.
  • Para todo el g en el G, GN = Ng del .
  • El N es una unión de las clases de Conjugacy G .
  • Hay un cierto homomorfismo en el G para el cual el N es el núcleo .

    Observar que la condición (1) es lógicamente más débil que la condición (2), y la condición (3) es lógicamente más débil que la condición (4). Por esta razón, las condiciones (1) y (3) son de uso frecuente probar que el N es normal en el G, mientras que las condiciones (2) y (4) se utilizan para probar las consecuencias de la normalidad del N en el G .

    Ejemplos


    el

    { e } y el G son siempre subgrupos normales del G . Llaman estos grupos los subgrupos triviales, y si éstos son los únicos, después el G reputan el simple.


  • el centro de un grupo es un subgrupo normal.

    el subgrupo del conmutador es un subgrupo normal.

    más generalmente, cualquier subgrupo característico es normal, puesto que la conjugación es siempre un automorfismo .

    todo el N de los subgrupos de un G del grupo abeliano es normal, porque el GN = Ng del . Un grupo que no es abeliano pero cuál es normal cada subgrupo se pide un grupo hamiltoniano .

    el grupo de la traducción en cualquier dimensión es un subgrupo normal del grupo euclidiano ; por ejemplo en 3D la rotación, traduciendo, y girando detrás da lugar solamente a la traducción; también reflejando, traduciendo, y reflejando da lugar otra vez solamente a la traducción (una traducción considerada en un espejo parece una traducción, con un vector de traducción reflejado). Las traducciones por una distancia dada en cualquier dirección forman una clase del conjugacy; el grupo de la traducción es la unión de ésos para todas las distancias.

    en el grupo del cubo del Rubik, las operaciones que consisten en del subgrupo que afectan solamente a los pedazos de la esquina es normal, porque ninguna transformación conyugal puede hacer tal affecto de la operación al pedazo del borde en vez de una esquina. Por el contrario, las vueltas que consisten en del subgrupo de la cara superior solamente no son normales, porque una transformación conyugal puede mover partes de la cara superior a la parte inferior y por lo tanto no todas las conjugaciones de elementos de este subgrupo se contienen en el subgrupo.

    Características


    La normalidad del

    se preserva sobre homomorphisms surjective, y también se preserva sobre tomar imágenes inversas.
    La normalidad se preserva en tomar productos directos
    Un subgrupo normal de un subgrupo normal de un grupo no necesita ser normal en el grupo. Es decir, la normalidad no es una relación transitiva . Sin embargo, un subgrupo característico de un subgrupo normal es normal. También, un subgrupo normal de un factor central es normal. Particularmente, un subgrupo normal de un factor directo es normal.
    Cada subgrupo del índice 2 es normal. ¡Más generalmente, un H del subgrupo del finito n del índice en el G contiene un normal del K del subgrupo en el G y del índice que divide el n ! llamó el la base normal . Particularmente, si el p es la prima más pequeña que divide la pedido del G, después cada subgrupo del p del índice es normal.

    Enrejado de subgrupos normales

    Los subgrupos normales de un G del grupo forman un enrejado bajo inclusión del subconjunto con el menos elemento { e } y el G del elemento más grande . Dado dos subgrupos normales el N y el M en el G, reunión se define como N del \ la cuña M: = N \ casquillo M y el ensambla se define como el N \ uve M del : = = \ {de N M nanómetro \,|\, n \ en N \, m \ en M \}

    Subgrupos normales y homomorphisms

    Los subgrupos normales son de importancia porque si el N es normal, después el G / N del grupo del cociente puede ser formado: si el N es normal, podemos definir una multiplicación en cosets cerca

    l ( un N ) ( de 1 un N de 2): = ( un de 1 un 2) N .

    Esto da vuelta al sistema de cosets en un grupo llamado el G/N del grupo del cociente. Hay un natural f del homomorfismo : &rarr de G del ; G/N dado por el f ( un ) = un . El f ( N ) de la imagen consiste solamente en el elemento de identidad del G/N, el eN del del coset = el N .

    Generalmente un f del homomorfismo del grupo: &rarr de G del ; El H envía subgrupos del G a los subgrupos del H . También, el preimage de cualquier subgrupo del H es un subgrupo del G . Llamamos el preimage del grupo trivial { e } en el H el núcleo del del homomorfismo y lo denotamos por el ker ( f ). Pues resulta, el núcleo es siempre normal y el f ( G ) de la imagen del G es siempre el isomorfo al G /ker ( f ) (el primer teorema del isomorfismo). De hecho, esta correspondencia es un bijection entre el sistema de todo el G / N de los grupos del cociente del G y el sistema de todas las imágenes homomórficas del G ( hasta isomorfismo de ). Es también fácil ver que el núcleo del mapa del cociente, f : &rarr de G del ; El G/N, es el N sí mismo, así que hemos demostrado que los subgrupos normales son exacto los núcleos de homomorphisms con el G del dominio .

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