En las matemáticas, el radio del de la convergencia de una serie de energía es una cantidad no negativa, un número verdadero o \ scriptstyle \ infty, que represente una gama (dentro del radio) en la cual la función converja .

Definición

Para un f de la serie de energía definido como: f del

l (z) = \ ^ del sum_ {n=0} \ ^n infty del c_n (z-a),

donde está un constante el del un, el centro del disco de la convergencia, n del del c del
es el coeficiente complejo del n th (nota que los números verdaderos son un caso especial muy común de números complejos), y el z del
es una variable.

El radio del r de la convergencia es un número verdadero o un \ un scriptstyle no negativos \ infty, tal que converge la serie si

|z-a| ¡

y diverge si

|z-a| ¡>r. \!

Es decir la serie converge si el z está bastante cercano al centro y diverge si es demasiado lejana. El radio de convergencia especifica cómo está cercano está bastante cercano. El radio de convergencia es infinito si la serie converge para todo el z de los números complejos .

Encontrar el radio de convergencia

El radio de convergencia puede ser encontrado aplicando la prueba de raíz a los términos de la serie. La prueba de raíz utiliza el número

C = \ limsup_ {n \ rightarrow \} infty \ raíz cuadrada {|f_n|}

donde ƒ el n del es el n (  del del c del término del th del n del z ; −   un n (" del de ); lim  sup" denota a superior de límite ). La prueba de raíz indica que converge la serie si | C | < 1 y diverge si | C | > 1. Sigue que converge la serie de energía si la distancia del z al de centro un es menos que

r = \ frac {1} {\ limsup_ {n \ rightarrow \} infty \ raíz cuadrada {|c_n|}}

y diverge si la distancia excede ese número. Observar ese   del r ; =  1/0 se interpreta como radio infinito, significando ese ƒ es una función entera .

El límite implicado en la prueba de cociente es generalmente más fácil de computar, pero el límite puede no poder existir, en este caso se utiliza la prueba de raíz. La prueba de cociente utiliza el límite = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} del L del

l \ se fue|\ frac {f_ {n+1}} {f_n} \ derecho|.

En el caso de una serie de energía, esto se puede utilizar para encontrar eso = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} del del

l r \ se fue| \ frac {c_n} {c_ {n+1}} \ derecho|.

Resultado de la claridad y de la simplicidad de la complejidad

Uno de los mejores ejemplos de la claridad y de la simplicidad que siguen del pensamiento del complejo numera donde la confusión resultaría del pensamiento de que los números verdaderos de son este teorema del análisis complejo : el

l el radio de convergencia es siempre igual a la distancia del centro al punto más cercano donde el f de la función tiene singularidad (inmovible) de a; si existe ningún tal punto entonces el radio de convergencia es infinito.

El el punto más cercano significa el punto más cercano del plano complejo, no no necesario en la línea verdadera, incluso si el centro y todos los coeficientes son verdaderos. Ver que las funciones olomorfas es analítico; el resultado indicado arriba es un subproducto de la prueba encontrada en ese artículo.

Un ejemplo simple

La función del arctangent de la trigonometría se puede ampliar en un familiar de la serie de energía a los estudiantes del cálculo: del

l \ arctan (z)=z- \ frac {z^3} {3} + \ 5} - \ frac {z^7} {7} del frac {z^5} {+ \ cdots.

Es fácil aplicar la prueba de cociente en este caso para encontrar que el radio de convergencia es 1. Pero podemos también ver la materia así: del

l \ frac {d} {DZ} \ arctan (z)= \ frac {1} {1+z^2}

y un cero aparece en el denominador cuando el z 2 = − 1, es decir, cuando z = i o − i . El centro en esta serie de energía está en 0. La distancia a partir de la 0 a cualquiera de estas dos singularidades es 1. Ése es por lo tanto el radio de convergencia.

Un ejemplo más complicado

Considerar esta serie de energía: del

l \ frac {z} {e^z-1} = \ ^ del sum_ {n=0} \ infty \ frac {B_n} {n!} z^n

donde está los números el n del del B de los números racionales de Bernoulli . Puede ser incómodo intentar aplicar la prueba de cociente para encontrar el radio de convergencia de esta serie. Pero el teorema del análisis complejo indicado arriba soluciona rápidamente el problema. En el z = 0, allí no es en efecto ninguna singularidad puesto que el la singularidad es desprendible. Las únicas singularidades inmovibles por lo tanto están situadas en el otros puntos de donde está cero el denominador. Solucionamos

e^z-1=0 del \,

recordando eso si z = x + iy iy   del de y del e ; =    de lechuga romana ( y ); +    del i ; pecado ( y ) entonces e^z del

l = e^ del e^x {iy} = e^x (\ lechuga romana, \, (de y)+i \ del pecado (y))

y entonces tomar el x y el y para ser verdadero. Puesto que el y es verdadero, el valor absoluto de lechuga romana ( y ) + pecado del i ( y ) es necesario 1. Por lo tanto, el valor absoluto del z del del e puede ser 1 solamente si el x del del e es 1; puesto que el x es verdadero, ése sucede solamente si el x = 0. Por lo tanto necesitamos lechuga romana ( y ) + pecado del i ( y ) = 1. Puesto que el y es verdadero, ése sucede solamente si lechuga romana ( y ) = 1 y pecado ( y ) = 0, de modo que el y sea un múltiplo integral de 2π. Puesto que el x de la parte real es 0 y el y de la parte imaginaria es un múltiplo integral diferente a cero de 2π, la solución de nuestra ecuación es z del

l = un múltiplo integral diferente a cero 2π del i .

La singularidad lo más cerca posible el centro (el centro es 0 en este caso) está en 2π el i o − 2π i . La distancia del centro a cualquiera de esos puntos es 2π. Ése es por lo tanto el radio de convergencia.

Convergencia en el " círculo del convergence"

El círculo de la convergencia de una serie de energía es el sistema de puntos en el plano complejo en el r de la distancia del punto que la serie se amplía alrededor, donde está el radio el r de convergencia. Una serie de energía puede divergir en cada punto en la circunferencia del disco de la convergencia, o divergir en algunos puntos en la circunferencia y converger en otros puntos, o converger en todos los puntos en la circunferencia.

Ejemplo 1: La serie de energía para el &fnof de la función; ( z ) = (1  −   &minus del z ); 1, ampliado alrededor del z = 0, tiene radio de la convergencia 1 y diverge en cada punto en la circunferencia del disco de la convergencia.

Ejemplo 2: La serie de energía para el g ( z ) = ln (1  −   el z ) tiene radio del r de la convergencia = 1 ampliado alrededor del z = 0, y diverge para el z = 1 pero converge para el resto de los puntos en la circunferencia. ƒ ( z ) en el ejemplo 1 está el derivado de la negativa del g ( z ). Ejemplo 3: La serie de energía del

l \ ^ del sum_ {n=2} \ infty \ frac {1} {(- n) (n-1)} z^n

tiene radio de la convergencia 1 y converge por todas partes en el círculo. Si el h ( z ) es la función representada por esta serie, después el derivado del h ( z ) es el g ( z ) en el ejemplo 2.

Comentarios sobre el índice de convergencia

Si ampliamos la función

f (x)= \ pecado x = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {(- ^n de 1)} {(2n+1)!} x^ {2n+1} \ patio = - \ frac {x^3} {3 de x!} + \ frac {x^5} {5!} - \ cdots \ mbox {para todos} x

alrededor del x del punto = 0, descubrimos que el radio de convergencia de esta serie es significado del \ del scriptstyle \ infty que esta serie converge para todos los números complejos. Sin embargo, en usos, uno está a menudo interesado en la precisión de una respuesta numérica . Por ejemplo, si queremos calcular el ƒ (0.1) hasta cinco lugares decimales exactos del pecado (, necesitamos solamente los primeros dos términos de la serie. Si queremos aproximar el ƒ (1) con 10− la exactitud 5, necesitamos evaluar los primeros cinco términos de la serie. Semejantemente, para el ƒ (10), uno requiere los primeros dieciocho términos de la serie y para el ƒ (100), necesitamos evaluar los primeros 141 términos.

La convergencia más rápida de una extensión de serie de energía está tan en el centro y entonces como usted se mueve lejos del centro de la convergencia, el índice de la convergencia retrasa hasta que usted alcance el límite (si existe) y cruce encima en este caso diverge la serie .

Un ejemplo gráfico

Considerar la función 1 (el z 2  +  1).

Esta función tiene postes en el z = el i del \ del scriptstyle \ pm.

Según lo considerado en el primer ejemplo, el radio de convergencia que esta función es 1 como la distancia a partir de la 0 a cada uno de esos postes es 1.

Entonces la serie de Taylor de esta función alrededor de z=0 convergerá solamente si | z |  <  1, según lo representado en el ejemplo a la derecha.

Abscisa de la convergencia de una serie de Dirichlet

Un concepto análogo es la abscisa del de la convergencia de una serie de Dirichlet del

l \ ^ del sum_ {n=1} \ infty {a_n \ sobre n^s}.

Tal serie converge si la parte real del s es menos que un número particular dependiendo del de los coeficientes al n del de : la abscisa de la convergencia.

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