Un número es una idea abstracta usada en el que cuenta y el que mide . Un símbolo que representa un número se llama un número, pero en uso común que el número de la palabra se utiliza para la idea y el símbolo. Además de su uso en la cuenta y la medición, los números son de uso frecuente para las etiquetas (números de teléfono, para ordenar (los números de serie, y para los códigos ( ISBNs . En las matemáticas, la definición del número se ha ampliado durante los años para incluir los números tales como el cero, los números negativos, los números racionales, los números irracionales, y los números complejos .

Ciertos procedimientos que entran uno o más números y hacen salir un número se llaman las operaciones numéricas . Las operaciones singulares entraron un solo número e hicieron salir un solo número. Por ejemplo, la operación del sucesor agrega uno a un número entero: el sucesor de 4 es 5. Mas comunes son las operaciones binarias que entran dos números y hacen salir un solo número. Los ejemplos de operaciones binarias incluyen la adición, la substracción, la multiplicación, la división, y la exponenciación . El estudio de operaciones numéricas se llama el aritmético.

La rama de las matemáticas que estudian sistemas de numeración abstracta tales como agrupa los anillos del y los campos que se llama la álgebra del extracto.

Tipos de números

Los números se pueden clasificar en los sistemas llamados los sistemas de numeración (para diversos métodos de expresar números con símbolos, tales como los números romanos, ven los sistemas de numeración )

Números naturales

Los números más familiares son el de los números naturales del o los números de la cuenta: uno, dos, tres,…. Alguna gente también incluye pone a cero adentro los números naturales; sin embargo, otros no hacen.

En el sistema de numeración de la base diez, en uso casi universal hoy, los símbolos para los números naturales se escriben usar diez dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9. En este sistema bajo diez, el dígito de derecha de un número natural tiene un valor de lugar de uno, y cada otro dígito tiene un valor de lugar diez veces que del valor de lugar del dígito a la su derecha. El símbolo para el sistema de todos los números naturales es N, también escrito el $\backslash \; el\; mathbb\; \{N\}$.

¡Integers

el de los números negativos del es los números que son menos de cero. Son el contrario de números positivos. Por ejemplo, si un número positivo indica un depósito de banco, después un número negativo indica un retiro de la misma cantidad. Los números negativos son escritos generalmente escribiendo una muestra negativa delante del número que son el contrario de. Así el contrario de 7 se escribe − 7. Cuando el determinado de los números enteros negativos se combina con los números enteros y el cero positivos, uno obtiene el Z ( alemán Zahl, plural Zahlen ) de los números enteros de, también escrito el $\backslash \; el\; mathbb\; \{Z\}$.

Números racionales

Un número racional del es un número que se puede expresar como fracción con un numerador del número entero y un denominador diferente a cero del número natural. El m / n o $m\; de\; la\; fracción\; del\; \backslash \; sobre\; n\; \backslash ,$ representa las piezas iguales del m, donde las piezas iguales del n de ese tamaño componen uno entero. Dos diversas fracciones pueden corresponder al mismo número racional; por ejemplo el 1/2 y 2/4 es iguales, eso es:

$\{1\; \backslash \; sobre\; 2\}\; =\; \{2\; \backslash \; sobre\; 4\}\; \backslash ,$. Si el valor absoluto m es mayor que el n, después el valor absoluto de la fracción es mayor de las fracciones 1. pueden ser mayores que, menos que, o igual a 1 y pueden también ser positivas, negativas, o cero. El sistema de todas las fracciones incluye los números enteros, puesto que cada número entero se puede escribir como fracción con &minus del denominador 1. por ejemplo; 7 se pueden escribir − 7/1. El símbolo para los números racionales es el Q (para el cociente ), también escrito el $\backslash \; el\; mathbb\; \{Q\}$.

Números verdaderos

Los números verdaderos del incluyen todos los números de medición. Los números verdaderos se escriben generalmente usar los números decimales, en los cuales una coma se pone a la derecha del dígito con el valor de lugar uno. Después de la coma, cada dígito tiene de lugar del valor de lugar del valor un un décimo del dígito a su izquierda.456 del
\, representa 1 cientos, 2 diez, 3 unos, 4 décimos, 5 centésimo, y 6 milésimos. En decir el número, el decimal es " leído; point", así: " un dos tres six" del punto cuatro cinco;. En, por ejemplo, los E. y el Reino Unido, el decimal se representa por un período, en Europa continental por una coma . Cero se escribe a menudo mientras que 0.0 y los números verdaderos negativos se escriben con un precedente el signo de menos :
$-123.456\; del$
\, .

Cada número racional es también un número verdadero. Para escribir una fracción como decimal, dividir el numerador por el denominador. No es el caso, sin embargo, que cada número verdadero es racional. Si un número verdadero no se puede escribir como fracción de dos números enteros, se llama el irracional. Un decimal que se puede escribir como fracción termina (termina) o por siempre repeticiones, porque es la respuesta a un problema en la división. Así el número verdadero 0.5 se puede escribir como el 1/2 y el número verdadero 0.333… (por siempre repitiendo threes) se puede escribir como 1/3. por una parte, el &pi del número verdadero; ( pi ), el cociente de la circunferencia de cualquier círculo a su diámetro, es el $\backslash \; pi\; del\; =\; 3.14159265358979\dots \; \backslash ,$. Puesto que el decimal ni termina ni por siempre las repeticiones, no puede ser escrito como fracción, y es un ejemplo de un número irracional. Otros números irracionales incluyen el $\backslash raíz\; cuadrada\{2\}\; del\; =\; 1.41421356237\dots \; \backslash ,$ (la raíz cuadrada de 2, es decir, el número positivo cuyo cuadrado es 2).

Apenas mientras que las fracciones se pueden escribir en más que una forma, pueden tan también los decimales. Por ejemplo, si multiplicamos ambos lados del de la ecuación $1/3\; =\; 0.333\dots \; \backslash ,$ por tres, descubrimos ese $1\; =\; 0.999\dots \; son\; dos\; diversos\; números\; decimales\; que\; representan\; el\; número\; natural\; 1.\; Hay\; infinitamente\; muchas\; otras\; maneras\; de\; representar\; el\; número\; 1,\; por\; ejemplo\; 2/2,\; 3/3,\; 1.000,\; y\; así\; sucesivamente.$

Cada número verdadero es racional o irracional. Cada número verdadero corresponde a un punto en la línea de número . Los números verdaderos también tienen un importante pero alto - característica técnica llamada el menos característica del límite superior . El símbolo para los números verdaderos es el R o $\backslash \; el\; mathbb\; \{R\}$.

Cuando un número verdadero representa una medida, hay siempre una margen de error . Esto es indicada a menudo por el que redondea o el que trunca un decimal, para quitar los dígitos que sugieren una mayor exactitud que la medida sí mismo. Los dígitos restantes se llaman los dígitos significativos . Por ejemplo, las medidas con una regla se pueden hacer raramente sin una margen de error por lo menos de 0. Si los lados de un rectángulo se miden como 1.56 metros, después la multiplicación da un área para el rectángulo de 5.6088 metros cuadrados. Puesto que solamente los primeros dos dígitos después de que el lugar decimal sea significativo, éste se redondean generalmente a 5. En la álgebra del extracto, los números verdaderos son caracterizados únicamente siendo único el campo pedido totalmente . No son, sin embargo, un campo algebraico cerrado .

Números complejos

Moviéndose a un mayor nivel de abstracción, los números verdaderos se pueden ampliar al de los números complejos del . Este sistema de números se presentó, históricamente, de la cuestión de si un número negativo puede tener una raíz cuadrada . Esto llevó a la invención de un nuevo número: la raíz cuadrada de la negativa una, denotada por el de i, un símbolo asignado por el Leonhard Euler, y llamado la unidad imaginaria . Los números complejos consisten en todos los números del $del\; de\; la\; forma\; \backslash ,\; a\; +\; b\; i$ donde están números un y de b verdaderos. En la expresión un + el del BI de, el número verdadero un se llama el de la parte real de y el de b se llama el de la pieza imaginaria de . Si la parte real de un número complejo es cero, después el número se llama un número imaginario o se refiere como puramente imaginario de ; si la parte imaginaria es cero, después el número es un número verdadero. Así los números verdaderos son un subconjunto de los números complejos. Si el verdaderos y las partes imaginarias de un número complejo son ambos números enteros, después el número se llama un número entero gausiano . El símbolo para los números complejos es C o $\backslash \; mathbb\; \{C\}$.

En la álgebra del extracto, los números complejos son un ejemplo de un campo algebraico cerrado, significando que cada polinómico con los coeficientes complejos puede ser descompuesto en factores en factores lineares. Como el sistema de numeración verdadera, el sistema de numeración compleja es un campo y es el completo, pero desemejante de los números verdaderos no es pedido . Es decir, no hay significado en decir que el i es mayor de 1, ni hay cualquier significado en decir eso que el i es menos de 1. En términos técnicos, los números complejos carecen la característica de tricotomía .

Los números complejos corresponden a los puntos en el plano complejo, a veces llamado el plano de Argand.

Cada uno de los sistemas de numeración mencionados anteriormente es un subconjunto apropiado del sistema de numeración siguiente. Simbólicamente, &sub del N ; &sub del Z ; &sub del Q ; &sub del R ; C .

Otros tipos

El ultrarreal, el hyperreal y los números surrealistas amplían los números verdaderos agregando números infinitesimal pequeños y números infinitamente grandes, pero todavía forman los campos

La idea detrás de los números de P-adic es ésta: Mientras que los números verdaderos pueden tener extensiones infinitamente largas a la derecha de la coma, estos números permiten extensiones infinitamente largas a la izquierda. El sistema de numeración que resulta depende de qué base se utiliza para los dígitos: cualquier base es posible, pero un sistema con las mejores características matemáticas se obtiene cuando la base es un número primero .

Para ocuparse de las colecciones infinitas, los números naturales se han generalizado a los números ordinales y a los números cardinales el anterior da ordenar de la colección, mientras que este 3ultimo da su tamaño. Para el sistema finito, los números ordinales y cardinales son equivalentes, pero diferencian en el caso infinito.

Hay también otros sistemas de números con aplicaciones especializadas. Algunos son subconjuntos de los números complejos. Por ejemplo, los números algébricos son las raíces de los polinomios con los coeficientes racionales . Los números complejos que no son algebraicos se llaman los números trascendentales .

Los sistemas de los números que no son subconjuntos de los números complejos incluyen el H de Quaternions, inventado por el serbal Hamilton de Guillermo del sir, en el cual la multiplicación no es el comutativo, y el Octonions en el cual la multiplicación no es el asociativo. Los elementos de los campos de la función finito característico se comportan en cierto modo como números y son mirados a menudo como números por los teóricos de número.

Números

Los números deben ser distinguidos de los números ', los símbolos usados para representar números. El número cinco se puede representar por diez el número bajo “5” y por el número romano “V”. Las notaciones usadas para representar números se discuten en los sistemas de numeración del artículo que un desarrollo importante en la historia de números era el desarrollo de un sistema posicional, como los decimales modernos, que pueden representar números muy grandes. Los números romanos requieren los símbolos adicionales para números más grandes.

Historia

Historia de números enteros

Los primeros números

considera también: [[system#History numérico]], [[historia de sistemas de numeración]]

Se especula que el uso primero sabido de números data de alrededor 30000 A., los huesos u otros artefactos se han descubierto con las marcas cortadas en ellas cuáles a menudo se consideran las marcas de la cuenta. El uso de estas marcas de la cuenta se ha sugerido para ser cualquier cosa de contar tiempo transcurrido, tal como números de días, o de guardar expedientes de cantidades.

Marcando los sistemas no tienen ningún concepto de lugar-valor (por ejemplo en la notación decimal actual usada), que limitan su representación de grandes números y como tal se considera a menudo que ésta es la primera clase de sistema abstracto que sería utilizada, y se podrían considerar un sistema de numeración.

El primer sistema sabido con lugar-valor era el sistema mesopotámico de la base 60 ( 3400 A. del CA) y las fechas sabidas más tempranas del sistema de la base 10 al 3100 A.

Historia de cero

considera también: [[0 (número) #History]], [[historia de cero]]

El uso de cero mientras que un número debe ser distinguido de su uso mientras que un número del placeholder en textos indios antiguos de los sistemas del Lugar-valor muchos utiliza un sánscrito Shunya de la palabra para referir al concepto del vacío del ; en textos de las matemáticas esta palabra sería utilizada a menudo para referir al número cero. En una vena similar, el Pāṇini (siglo V A. ) utilizó a operador (cero) nulo (IE una producción de la lambda) en el Ashtadhyayi, su gramática algebraica para la lengua sánscrita . (también ver el Pingala )

Los expedientes demuestran que los griegos clásicos parecían inseguros sobre el estado de cero como número: se pidieron el " ¿cómo puede “nada” ser algo? ", llevando al interesante filosófico y, por al período medieval, a las discusiones religiosas sobre la naturaleza y la existencia de cero y al vacío . Las paradojas Zeno de Elea dependen en parte grande de la interpretación incierta de cero. (Los griegos clásicos incluso preguntaron si el 1 era un número.)

La última gente de Olmec south-central México comenzó a utilizar un cero verdadero (un glyph de la cáscara) en el nuevo mundo posiblemente por el siglo IV A. pero ciertamente por el 40 A., que se convirtió en una parte integrante de los números del maya y del calendario del maya, pero no influenció sistemas de numeración del Viejo Mundo.

Por el 130, el Ptolemy, influenciado por el Hipparchus y los babilónico, utilizaba un símbolo para cero (un pequeño círculo con un overbar largo) dentro de un sistema de numeración sexagesimal de otra manera usar los números griegos alfabético. Porque fue utilizado solamente, no como apenas un placeholder, este cero helenístico era el uso documentado primer de de un verdad pone a cero adentro el Viejo Mundo. En manuscritos bizantinos posterior de su Syntaxis Mathematica ( Almagest ), el cero helenístico morphed en el griego Omicron (si no significado 70) de la letra .

Otro cero verdadero fue utilizado en tablas junto a los números romanos por el 525 (uso primero sabido por el Dionysius Exiguus ), sino como una palabra, del significado del nulla del nada, no como símbolo. Cuando la división produjo cero como resto, nihil del, también significando el nada, fue utilizado. Estos ceros medievales fueron utilizados por todos los computists medievales futuros (calculadoras Pascua ). Un uso aislado de su inicial, N, fue utilizado en una tabla de números romanos por el Bede o un colega sobre el 725, un símbolo cero verdadero.

Un uso temprano documentado de el cero por el Brahmagupta (en el Brahmasphutasiddhanta ) fecha al 628 . Él trató cero como número y discutió las operaciones que lo implicaban, incluyendo la división . (Siglo VII) el concepto había alcanzado para entonces claramente el Camboya, y la documentación demuestra la idea que se separa más adelante al China y al mundo islámico .

Historia de números negativos

considera también: [[uso negativo y no negativo del numbers#First de números negativos]], [[primer uso de números negativos]]

El concepto abstracto de números negativos fue reconocido desde el 100 A. El chino” capítulos nueve en el arte matemático ” ( Jiu-zhang Suanshu ) contiene los métodos para encontrar las áreas de figuras; las barras rojas fueron utilizadas para denotar el negro positivo de los coeficientes para la negativa. Ésta es la mención lo más temprano posible sabida de números negativos en el este; la primera referencia en un trabajo occidental era en el siglo III en el Grecia . El Diophantus refirió a la ecuación equivalente a $4x\; +\; 20\; =\; 0$ (la solución sería negativa) en el Arithmetica del, decir que la ecuación dio un resultado absurdo.

Durante el 600s, los números negativos eran funcionando en el la India representar deudas. la referencia anterior de Diophantus ' fue discutida más explícitamente por el indio Brahmagupta del matemático, en el 628 de Brahma-Sphuta-Siddhanta, que utilizó números negativos para producir la fórmula cuadrático general de la forma que sigue habiendo funcionando hoy. Sin embargo, en el siglo XII en la India, el Bhaskara da las raíces negativas para las ecuaciones cuadráticos pero dice el " negativo del valor; no está en este caso ser tomado, porque es inadecuado; la gente no aprueba de roots." negativo;

Los matemáticos europeos, en general, se opusieron al concepto de números negativos hasta el siglo XVII, aunque el Fibonacci permitiera soluciones negativas en los problemas financieros donde podrían ser interpretadas como debes (capítulo 13 de los ábacos de Liber, 1202 ) y más adelante como pérdidas (en el Flos ). Al mismo tiempo, el chino indicaba números negativos dibujando un movimiento diagonal a través del dígito diferente a cero de derecha del número del número positivo correspondiente. El primer uso de números negativos en un trabajo europeo estaba al lado de Chuquet durante el siglo XV . Él los utilizó como exponentes pero les refirió como “números absurdos”.

Tan recientemente como el siglo XVIII, el suizo Leonhard Euler del matemático creyó que los números negativos eran mayores que el infinito, y era práctica común no hacer caso de cualquier resultado negativo vuelto por ecuaciones en la asunción que él era sin setido, apenas como el René Descartes hizo con las soluciones negativas en un sistema coordinado de cartesiano.

Historia de números racionales, irracionales, y verdaderos

considera también: [[number#History irracional]], [[historia de números irracionales]] y [[historia del pi]]

Historia de números racionales

Es probable que el concepto de números fraccionarios feche a los tiempos prehistóricos . Incluso los egipcios antiguos escribieron los textos de la matemáticas que describían cómo convertir las fracciones generales en su notación especial . Los matemáticos del Griego clásico y del indio hicieron los estudios de la teoría de números racionales, como parte del estudio general de la teoría de número. El más conocido de éstos es los elementos de Euclid, fechando áspero al 300 A. De los textos indios, el más relevante es el Sthananga Sutra, que también cubre teoría de número como parte de un estudio general de las matemáticas.

El concepto de las fracciones decimales se liga de cerca a la notación del valor de lugar decimal; los dos parecen haberse convertido en tándem. Por ejemplo, es común para que los sutras Jain de la matemáticas incluyan cálculos de las aproximaciones de la decimal-fracción al pi o a la raíz cuadrada de dos . Semejantemente, los textos babilónicos de la matemáticas habían utilizado siempre fracciones sexagesimales con gran frecuencia.

Historia de números irracionales

El uso lo más temprano posible sabido de números irracionales estaba en el indio Sulba Sutras compuesto entre el 800 - 500 A. Las primeras pruebas de la existencia de números irracionales se atribuyen generalmente al Pythagoras, más específicamente al pitagórico Hippasus de Metapontum, que produjo la prueba de a (geométrico más probable) de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 . La historia va que Hippasus descubrió números irracionales al intentar representar la raíz cuadrada de 2 como fracción. Sin embargo el Pythagoras creyó en la rotundidad de números, y no podía aceptar la existencia de números irracionales. Él no podría refutar su existencia con lógica, pero su creencia no aceptaría la existencia de números irracionales y así que él condenó Hippasus a la muerte ahogándose.

El siglo XVI consideró la aceptación final de europeans los números fraccionarios negativos de, del integral y . El siglo XVII consideró fracciones decimales con la notación moderna usada absolutamente generalmente por los matemáticos. Pero no era hasta el siglo XIX que los irrationals fueron separados en piezas algebraicas y trascendentales, y un estudio científico de la teoría de irrationals fue tomado una vez más. Tenía seguía siendo casi inactivo desde el Euclid . El año 1872 consideró la publicación de las teorías Karl Weierstrass (por su Kossak de la pupila), Heine ( Crelle, 74), chantre (Annalen del de Jorge, 5), y Richard Dedekind . El Méray había admitido 1869 el mismo punto de la salida que el Heine, pero la teoría se refiere generalmente el año 1872. El método de Weierstrass ha sido dispuesto totalmente por el Salvador Pincherle (1880), y Dedekind ha recibido la prominencia adicional con el trabajo posterior del autor (1888) y el endoso reciente por la curtiduría (1894) de Paul. Base de Weierstrass, del chantre, y de Heine sus teorías en series infinitas, mientras que Dedekind funda el suyo en la idea de un corte (Schnitt) en el sistema de los números verdaderos que separan todos los números racionales en dos grupos que tienen ciertas características características. El tema ha recibido contribuciones posteriores en las manos de Weierstrass, Kronecker (Crelle, 101), y de Méray.

Las fracciones continuas estrechamente vinculadas a los números irracionales (y debido a Cataldi, 1613), a la atención recibida en las manos Euler, y en la abertura del siglo XIX fueron traídas en prominencia con las escrituras José Louis Lagrange . Otras contribuciones significativas han sido hechas por el Druckenmüller (1837), el Kunze (1857), el Lemke (1870), y el Günther (1872). El Ramus (1855) primero conectó el tema con los determinantes resultando, con las contribuciones subsecuentes de Heine, Möbius, y Günther, en la teoría de Kettenbruchdeterminanten. Dirichlet también agregó a la teoría general, como tienen contribuidores numerosos a los usos del tema.

Números trascendentales y reals

Los primeros resultados referentes a números trascendentales eran prueba de 1761 de Lamberto que el π no puede ser racional, y también que el n del del e es irracional si el n es racional (a menos que el n = 0). (El constante '' e '' primero fue referido en trabajo de 1618 de Napier sobre los logaritmos .) El Legendre extendió esta prueba demostrada que el π no es la raíz cuadrada de un número racional. La búsqueda para las raíces las ecuaciones de quintic y de un grado más alto era un desarrollo importante, el teorema ( Ruffini 1799, Abel 1824) de Abel-Ruffini demostró que no podrían ser solucionados por los radicales (fórmula que implica solamente operaciones y raíces aritméticas). Por lo tanto era necesario considerar el sistema más ancho de los números algébricos (todas las soluciones a las ecuaciones polinómicas). El Galois (1832) ligó ecuaciones polinómicas a la teoría de grupo que daba lugar al campo de la teoría de Galois .

Incluso el sistema de números algébricos no era suficiente y el sistema completo del número verdadero incluye los números trascendentales . La existencia cuyo primero fue establecido por el Liouville (1844, 1851). El Hermite probado en 1873 que el '' e '' es trascendental y el Lindemann probaron en 1882 que el π es trascendental. Finalmente el chantre que demuestra que el sistema de todos los números verdaderos es el uncountably infinito pero el sistema de todos los números algébricos es el contable infinito, tan allí es un número uncountably infinito de números trascendentales.

Infinito

considera también: [[Infinity#History]], [[historia del infinito]]

El concepto sabido más temprano del infinito matemático aparece en el Yajur Veda, que en un punto indica el " si usted quita una pieza de infinito o agrega una pieza al infinito, qué permanece sigue siendo infinity". El infinito era un asunto popular del estudio filosófico entre los matemáticos Jain circa el 400 A. Distinguieron entre cinco tipos de infinito: infinito en una y dos direcciones, infinito en el área, infinito por todas partes, e infinito perpetuo.

En el oeste, la noción tradicional del infinito matemático fue definida por el Aristotle, que distinguió entre el infinito real y el infinito potencial ; el consenso general que es que solamente estes 3ultimo tenían valor verdadero. ciencias dos de s de Galileo 'las nuevas discutieron la idea de las correspondencias unas por entre los sistemas infinitos. Pero el avance principal siguiente en la teoría fue hecho por el chantre de Jorge; en el 1895 él publicó un libro acerca de su teoría determinada del nuevo, introduciendo, entre otras cosas, la hipótesis de la serie continua.

Una versión geométrica moderna del infinito es dada por la geometría descriptiva, que introduce el " puntos en el infinito ideales, " uno para cada dirección espacial. Cada familia de líneas paralelas en una dirección dada se postula para converger al punto ideal correspondiente. Esto es estrechamente vinculado a la idea de puntos vanishing en el dibujo de la perspectiva .

Números complejos

considera también: [[number#History complejo]], [[historia de números complejos]]

La referencia efímera más temprana a las raíces cuadradas de números negativos ocurrió en el trabajo de la garza del matemático y del inventor de Alexandría en el 1r ANUNCIO del siglo, cuando él consideraba el volumen de un tronco imposible de una pirámide . Hicieron más prominente cuando en el siglo XVI las fórmulas cerradas para las raíces de los terceros y cuartos polinomios del grado fueron descubiertas por los matemáticos italianos (véase el Niccolo Fontana Tartaglia, el Gerolamo Cardano ). Pronto fue observado que estas fórmulas, incluso si uno estaba solamente interesado en soluciones verdaderas, requirieron a veces la manipulación de las raíces cuadradas de números negativos.

Esto era doble inquietante desde que incluso no consideraban números negativos estar en la tierra firme en ese entonces. El " del término; imaginary" para estas cantidades fue acuñado por el René Descartes en el 1637 y significado ser despectivo (véase el número imaginario para una discusión del " reality" de números complejos). Futuro fuente de confusión era que ecuación

$\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{-\; 1\}\; ^2=\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{-\; 1\}\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{-\; 1\}\; =-1$ parecía para estar caprichoso contrario con algebraico identidad

$\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{=\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{ab\}$, } \ raíz cuadrada {b} de a cuál es válido para el positivo de los números verdaderos al y el b, y cuál también fue utilizado en cálculos del número complejo con uno del un, del b positivo y de la otra negativa. El uso incorrecto de esta identidad, y el $relacionado\; del\; de\; la\; identidad\; \backslash \; =\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\}\}$ del frac {1} {\ raíz cuadrada {a}} en el caso cuando el un y el b son incluso bedeviled negativo Euler . Esta dificultad lo llevó eventual a la convención de usar el i del símbolo especial en lugar de √ − 1 a guardar contra este error.

El siglo XVIII consideró los trabajos Abraham de Moivre y Leonhard Euler . A De Moivre es debido (1730) la fórmula bien conocida que lleva su nombre, fórmula de De Moivre: = \ lechuga romana n \ theta + i \ pecado n \ theta del ^ del $del$

l (\ lechuga romana \ theta + i \ pecado \ theta) {n} \,

y a 1748) fórmulas de Euler de Euler (del análisis complejo : $del$

l \ lechuga romana \ theta + ^ de i \ del pecado \ de la theta = de e {i \ theta}. \,

La existencia de números complejos no fue aceptada totalmente hasta que la interpretación geométrica hubiera sido descrita por el Caspar Wessel en el 1799 ; fue vuelto a descubrir varios años más tarde y popularizado por el Carl Friedrich Gauss, y consecuentemente la teoría de números complejos recibió una extensión notable. La idea de la representación gráfica de números complejos había aparecido, sin embargo, desde 1685, en tractatus de De Algebra del de s de Wallis '.

También en 1799, el gauss proporcionó la primera prueba generalmente aceptada del teorema fundamental de la álgebra, demostrando que cada polinomio sobre los números complejos tiene un sistema completo de soluciones en ese reino. La aceptación general de la teoría de números complejos no es una poco debido a los trabajos Agustín Louis Cauchy y Niels Henrik Abel, y especialmente este 3ultimo, que era el primer para utilizar audazmente números complejos con un éxito que es bien sabido.

El gauss estudió los números complejos de la forma + el BI del, donde están integrales el un y el b, o racional (y i es una de las dos raíces del x ² + 1 = 0). Su estudiante, Fernando Eisenstein, estudió el tipo + b&omega del ;, donde &omega del ; es una raíz compleja del &minus del x ³; 1 = 0. Otras tales clases (llamadas el los campos ciclotómicos ) de números complejos se derivan de las raíces del &minus del k del ^{del x de la unidad ; 1 = 0 para valores más altos del k . Esta generalización es en gran parte debido al Ernst Kummer, que también inventó los números del ideal que fueron expresados como entidades geométricas por el Felix Klein en 1893. La teoría general de campos fue creada por el Évariste Galois, que estudió los campos generados por las raíces de cualquier polinómico F ( x ) = 0 de la ecuación.}

En el vencedor Alejandro Puiseux 1850 tomó la medida dominante de la distinción entre los postes y los puntos de rama, e introdujo el concepto de los puntos esenciales del singular; esto llevaría eventual al concepto del plano complejo extendido .

Números primeros

Los números primeros se han estudiado a través de historia registrada. Euclid dedicó un libro de los elementos del que a la teoría de prepara; en él él probó que la infinidad del prepara y el teorema fundamental del aritmético, y presentó a el algoritmo euclidiano para encontrar el divisor común más grande de dos números., el Eratosthenes utilizó el tamiz de Eratosthenes para aislar rápidamente números primeros. Pero la mayoría del otro desarrollo de la teoría de prepara en las fechas de Europa al renacimiento y a eras posteriores.

En el 1796, el Adrien-Marie Legendre conjeturó el teorema del número primero, describiendo la distribución asintótica de prepara. Otros resultados referentes a la distribución del preparan incluyen la prueba de Euler que diverge la suma de los reciprocals del prepara, y la conjetura de Goldbach que demanda que cualquier número par suficientemente grande es la suma de dos prepara. Otra más conjetura se relacionó con la distribución de números primeros es la hipótesis de Riemann, formulada por el Bernhard Riemann en el 1859 . El teorema del número primero finalmente fue probado por el Jacques Hadamard y el Charles de la Vallée-Poussin en el 1896 .

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