En la álgebra del extracto, una rama de las matemáticas, un dominio integral es un anillo comutativo con una identidad aditiva 0 y una identidad multiplicativa 1 tales que 0 ≠ 1, en el cual el producto de cualquier dos elementos diferentes a cero es siempre diferente a cero (la característica del Cero-producto); es decir, no hay dominios integrales de los divisores cero es generalizaciones de los números enteros y proporciona un ajuste natural para estudiar divisibilidad. Un dominio integral es un dominio comutativo .

Alternativo y equivalente, un dominio integral se puede definir como anillo comutativo en el cual el cero ideal {0} sea el primero, o como un Subring de un campo . Además, un anillo comutativo con el R de la unidad es un del dominio integral si y solamente si para cada diferente a cero r del elemento del anillo, el R - el mapa del módulo inducido por la multiplicación por el r es el inyectivo (tal r se llama el regular).

Viendo el anillo comutativo subyacente como categoría de Preadditive, el criterio antedicho en los divisores cero es equivalente a la condición que cada diferente a cero Morphism es un monomorfismo (por lo tanto también un Epimorphism, haciendo uso de la estructura bilinearia en el sistema de morphisms).

El ≠ 1 de la condición 0 sirve solamente excluir el anillo trivial {0}.

Algunas fuentes hablan de dominios integrales no conmutativos, pero reservamos el dominio integral del término para el caso comutativo y utilizamos el dominio para el caso no conmutativo.

Algunas clases específicas de dominios integrales se dan con la cadena siguiente de las inclusiones de la clase:
&sup de los dominios integrales del

; &sup del de los dominios de facturización única del ; &sup de los dominios de ideal principal de ; &sup del de los dominios euclidianos del ; el de coloca

Ejemplos


el ejemplo prototípico es el Z del anillo de todos los números enteros

cada campo es un dominio integral. Inversamente, cada dominio integral de Artinian es un campo. Particularmente, todos los dominios integrales finitos son los campos finitos que el anillo del Z de los números enteros proporciona un ejemplo de un dominio integral infinito non-Artinian que no sea un campo, poseyendo sucesiones descendentes infinitas de ideales por ejemplo:

\ mathbf {} \; de Z\ supset \; 2 \ mathbf {} \; de Z\ supset \; \ ldots \; \ supset \; 2^n \ mathbf {} \; de Z\ supset \; 2^ {n+1} \ mathbf {} \; de Z\ supset \; \ cdots
Los anillos del

los polinomios son dominios integrales si los coeficientes vienen de un dominio integral. Por ejemplo, el Z del anillo de todos los polinomios en una variable con coeficientes del número entero es un dominio integral; está tan el R del anillo de todos los polinomios en dos variables con coeficientes verdaderos .

para cada n del número entero > 1, el sistema de todos los números verdaderos de la forma + b √ el n con el un y los números enteros b es el subring del R y por lo tanto de un dominio integral.

para cada n del número entero > 0 el sistema de todos los números complejos de la forma + BI del √ el n con el un y los números enteros del b es el subring del C y por lo tanto de un dominio integral. En el n del caso = 1 este dominio integral se llama los números enteros gausianos

los números enteros p-adic .

si el U es un subconjunto abierto conectado del del C del plano del número complejo, entonces el anillo H ( U ) que consiste en todo el olomorfo f de las funciones : El C del → del U es un dominio integral. Igual es verdad para los anillos de las funciones analíticas en los subconjuntos abiertos conectados de los múltiples analíticos

si el R es un anillo comutativo y el P es un ideal en el R, después el R/P del anillo de factor es un dominio integral si y solamente si el P es una prima ideal. También, el R es un dominio integral si y solamente si el ideal (0) es un ideal primero.
El anillo local del asiduo A es un dominio integral. Un teorema profundo Auslander - Buchsbaum y el Nagata a partir de los años 50 demanda que, de hecho, un anillo local regular es un UFD .

¡Elementos de la divisibilidad, primeros e irreducibles

Si el un y el b son elementos del R del dominio integral, decimos que el las divisorias b o el a es un divisor de b o el b es un múltiplo de un si y solamente si existe un x del elemento en el R tales que hacha del = el b .

Si el un divide el b y el b divide el c, después un c de las divisorias de . Si el un divide el b, después las divisorias de un cada múltiplo del b . Si el un divide dos elementos, después el un también divide su suma y diferencia.

Los elementos que dividen 1 se llaman las unidades 'de de R; éstos son exacto los elementos inversibles en de R. Las unidades dividen el resto de los elementos.

Si un divide el de b y de b divide un, después decimos que un y de b son asociado de los elementos. un y de b son asociados si y solamente si existe un de la unidad u tales que del au de = de b.

Si el de q es una no-unidad, decimos que el de q es un del elemento irreducible de si el de q no se puede escribir como producto de dos no-unidades.

Si el de p es una no-unidad diferente a cero, decimos que el de p es un elemento primero si, siempre que el de p divida un del producto ab, después las divisorias del de p un o de p dividen el de b.

Esto generaliza la definición ordinaria del número primero en el Z del anillo, salvo que permite elementos primeros negativos. Si el de p es un elemento primero, después el ideal principal ( de p) generado por el de p es un ideal primero. Cada elemento primero es irreducible (aquí, por primera vez, necesitamos el de R ser un dominio integral), pero el inverso no es verdad en todos los dominios integrales (es verdad en los dominios de facturización única sin embargo).

Características


jó el R ser un dominio integral. Entonces hay un S del dominio integral tales que &sub del R ; El S y el S tiene un elemento que sea trascendental sobre el R .
Los asimientos de la característica de la cancelación en dominios integrales. Es decir, dejar el un, b, y el c pertenece a un dominio integral. Si un 0 del ≠ de y ab = b de la CA del entonces = c . Otra manera de indicar esto es que el hacha \ mapsto del x de la función es inyectiva para cualquier diferente a cero al en el dominio. (Memoria de la álgebra de vector que un T de la transformación es inyectivo si y solamente si su espacio nulo consiste en 0 solo. Es por lo tanto posible tener un módulo anillo-isomorfo con el &mdash no-inyectivo del T ; si el anillo no es un dominio integral.)

Campo de fracciones

Si el R es un dominio integral dado, el campo más pequeño que contiene el R como subring se determina únicamente hasta isomorfismo y se llama el campo de las fracciones o el campo de cociente del del R . Puede ser pensado en como consistir en todo el de las fracciones un /un b con el un y el b en el ≠ 0, modulo del R y del b una relación de equivalencia apropiada. El campo de las fracciones de los números enteros es el campo de los números racionales que el campo de fracciones de un campo es el isomorfo al campo sí mismo.

Geometría algebraica

En la geometría algebraica, los dominios integrales corresponden a las variedades irreducibles . Hacen un punto genérico único, dar por el ideal cero. Los dominios integrales también son caracterizados por la condición que son e irreducibles reducidos . La condición anterior se asegura de que el nilradical del anillo sea cero, de modo que la intersección de todo el anillo mínimo prepare sea cero. La 3ultima condición es que el anillo tiene solamente una prima mínima. Sigue que el ideal mínimo único de un anillo reducido e irreducible es el ideal cero, por lo tanto tales anillos son dominios integrales. El inverso está claro: Ningún dominio integral puede tener elementos nilpotent, y el ideal cero es el ideal mínimo único.

Característica y homomorphisms

El característico de cada dominio integral es cero o un número primero .

Si el R es un dominio integral con el característico primero p, entonces el f ( x ) =   del x ; el p define un inyectivo f del homomorfismo del anillo : R, el endomorphism del → del R de Frobenius.

Ver también

Dominios integrales - acoplamiento del wikibook
característica del Cero-producto

.

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