La distribución del Erlang del es una distribución de probabilidad continua con la aplicabilidad amplia sobre todo debido a su relación al las distribuciones gammas exponenciales de y . La distribución del Erlang fue desarrollada por el Erlang A. para examinar el número de llamadas telefónicas que se pudieron hacer al mismo tiempo a los operadores de las estaciones de conmutación. Este trabajo sobre la ingeniería de tráfico del teléfono se ha ampliado para considerar tiempos de espera en los sistemas de espera en general. La distribución ahora se utiliza en el campo de los procesos estocásticos .

Descripción

La distribución es una distribución continua, que tiene un valor positivo para todos los números verdaderos mayor de cero, y es dada por dos parámetros: la forma k, que es un número entero, y el \ lambda de la tarifa, que es un número verdadero. La distribución se define a veces usar lo contrario del parámetro de la tarifa, el \ theta de la escala.

Cuando el parámetro k de la forma iguala 1, la distribución simplifica a la distribución exponencial .

La distribución del Erlang es un caso especial de la distribución gamma donde está un número entero el parámetro k de la forma. En la distribución gamma, este parámetro es un número verdadero. ¡ Historia -->

Caracterización

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de la distribución del Erlang es f del

l (x; k, \ lambda) = {\ lambda^k x^ {k-1} e^ {} \ encima - \ lambda x (k-1)!}\ patio \ mbox {para} x>0.

¡donde está la base el '' e '' del logaritmo natural y del ! es la función factorial . El parámetro k se llama el parámetro de la forma y el \ lambda del parámetro se llama el parámetro de la tarifa. Una alternativa, pero el equivalente, parametrización utiliza el \ theta del parámetro de la escala que es simplemente lo contrario del parámetro de la tarifa (es decir \ theta = 1 \ lambda): f del

l (x; k, \ = \ frac de la theta) {e^ del x^ {k-1} {- \ frac {x} {\ theta}}} {\ theta^k (k-1)!}\ patio \ mbox {para} x>0.

Debido a la función factorial en el denominador, la distribución del Erlang se define solamente cuando el k del parámetro es un número entero positivo. De hecho, esta distribución a veces se llama la distribución del erlang-k del (e., una distribución Erlang-2 es una distribución del Erlang con el k=2 ). La distribución gamma generaliza el Erlang permitiendo que su primer parámetro sea una verdadera, usar la función gamma en vez de la función factorial.

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa de la distribución del Erlang es F del

l (x; = \ frac, \ lambda de k) {\ gamma (, de k \ lambda x)} {(k-1)!}

donde está la función el \ la gamma () gamma incompleta de un más bajo. El CDF se puede también expresar como F del (x; ¡e^ del ^, \ lambda) = 1 \ sum_ {n=0} de k {k-1} {- \ lambda x} x)^ (\ lambda {n} /n!

Ocurrencia

Tiempos de espera

Los acontecimientos que ocurren independiente con una cierta tarifa media se modelan con un proceso de Poisson . Los tiempos de espera entre las ocurrencias del k del acontecimiento son Erlang distribuido. (La cuestión relacionada del número de acontecimientos en una cantidad de tiempo dada es descrita por la distribución de Poisson .)

La distribución del Erlang, que mide el tiempo entre las llamadas entrantes, se puede utilizar conjuntamente con la duración prevista de llamadas entrantes para presentar la información sobre la carga del tráfico medida en las unidades del Erlang que esto se puede utilizar para determinar la probabilidad de la pérdida o del retardo del paquete, según las varias asunciones hechas sobre si las llamadas bloqueadas están abortadas (fórmula del Erlang B) o hechas cola hasta servido (fórmula del Erlang C). Las fórmulas del Erlang B y de C todavía están en el uso diario para el tráfico que modela para los usos tales como el diseño de los centros de atención telefónicas

Modelos del compartimiento

La distribución del Erlang también ocurre como descripción del índice de transición de elementos a través de un sistema de compartimientos. Tales sistemas son ampliamente utilizados en biología y ecología.

Procesos estocásticos

La distribución del Erlang es la distribución de la suma de variables al azar idénticamente distribuidas de la independiente del k cada uno que tiene una distribución exponencial .

Ver también

Fórmula del Erlang B
Distribución exponencial
Distribución gamma
Distribución de Poisson
Distribución de Coxian
Proceso de Poisson
Unidad del Erlang
Cálculo de Engset
Fase-tipo distribución

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