Una diferencia finita es una expresión matemática del &minus del f ( x de la forma + el b ); f ( x + un ). Si una diferencia finita es dividida por &minus del b ; el un, uno consigue un cociente de diferencia . La aproximación de derivados por diferencias finitas desempeña un papel fundamental en los métodos de diferencia finita para la solución numérica de los problemas de valor de límite de las ecuaciones diferenciales especialmente

En el análisis matemático, estudian a los operadores que implican diferencias finitas. Un operador de diferencia es un operador que traza un f de la función a una función cuyos valores sean las diferencias finitas correspondientes.

Remitir, al revés y las diferencias centrales

Solamente tres formas se consideran comúnmente: remitir, al revés y las diferencias centrales.

Una diferencia delantera es una expresión de la forma \ Delta_h del

l (x) = f (x + h) - f (x). \,

Dependiendo del uso, el h del espaciamiento puede ser constante variable o llevado a cabo.

Una diferencia de posterior del utiliza los valores de la función en el &minus del x y del x ; h, en vez de los valores en el x + h y x : \ nabla_h del

l (x) = f (x) - f (x-h).

Finalmente, la diferencia central se da cerca \ delta_h del

l (x) = f (x+ \ tfrac12h) - f (x \ tfrac12h). \

Relación con los derivados

El derivado de un f de la función en un x del punto es definido por el límite

f'(x) = \} h \ to0 \ frac del lim_ {{f (x+h) - f (x)} {h}.

Si el h tiene un valor (diferente a cero) fijo, en vez de acercarse cero, después el lado derecho es del

l \ frac {f (x + h) - = \ frac de f (x)} {h} {\ Delta_h (x)} {h}.

Por lo tanto, la diferencia delantera dividida por el h aproxima el derivado cuando el h es pequeño. El error en esta aproximación se puede derivar del teorema de Taylor. Si se asume que el f es continuamente diferenciable, el error es \ frac del

l {\ Delta_h (x)} {h} - f'(x) = O (h) \ patio (h \ a 0).

La misma fórmula se sostiene para la diferencia de posterior: \ frac del

l {\ nabla_h (x)} {h} - f'(x) = O (h).

Sin embargo, la diferencia central rinde una aproximación más exacta. Su error es proporcional al cuadrado del espaciamiento (si el f es dos veces continuamente diferenciable): \ frac del

l {\ delta_h (x)} {h} - f'(x) = O (h^ {2}). ¡\!

¡Diferencias Higher-order

De una manera análoga una puede obtener aproximaciones de la diferencia finita más arriba para pedir derivados y a operadores diferenciados. Por ejemplo, usando la fórmula antedicha de la diferencia central para el f'(x+h/2) y el f'(x-h/2) y aplicando una fórmula de la diferencia central para el derivado del f del en el x, obtenemos la aproximación de la diferencia central del segundo derivado del f : del f del

l (x) \ aproximadamente \ frac (x)} {h^2} = {\ delta_h^2 \ frac {f (x+h) - 2 f (x) + f (x-h)}{h^ {2}}.

Más generalmente, el th-order de n las adelante, posteriores, y centrales diferencias se da respectivamente cerca: \ Delta^n_h del

l (x) = \ ^ del sum_ {i = 0} {n} (- ^i de 1) \ binom {n} {i} f (x + (n - i) h), \ nabla^n_h del

l (x) = \ ^ del sum_ {i = 0} {n} (- ^i de 1) \ binom {n} {i} f (x - ih), \ delta^n_h del

l (x) = \ ^ del sum_ {i = 0} {n} (- ^i de 1) \ binom {n} {i} f \ ido (x + \ dejado (\ frac {n} {2} - i \ derecho) h \ derecho).

Observar que la diferencia central, para n impar, tendrá h multiplicado por no-números enteros. Si esto es un problema (está generalmente), puede ser remediada tomando el promedio del \ del delta^n (x - h/2) y \ delta^n (x + h/2).

La relación de estas diferencias higher-order con los derivados respectivos es muy directa: del

l \ = del frac {d^ N-F} {x^n de d} (x) \ frac {\ Delta_h^n (x)} {h^n} +O (= \ frac de h) {\ nabla_h^n (x)} {h^n} +O (= \ frac de h) {\ delta_h^n (x)} {h^n} + O (h^2).

Las diferencias Higher-order se pueden también utilizar para construir mejores aproximaciones. Según lo mencionado anteriormente, la diferencia de primer orden aproxima el derivado de primer orden hasta un término del de la orden h. Sin embargo, combinación

\ frac {\ Delta_h (x) - \ frac12 \ Delta_h^2 (x)} {h} = - \ frac {f (x+2h) - 4f (x+h)+3f (x)} {2h} aproxima el del f de ( de x) hasta un término del 2 de la orden h. Esto puede ser probada ampliando la expresión antedicha en la serie de Taylor, o usando el cálculo de diferencias finitas, explicado abajo.

En caso de necesidad, la diferencia finita se puede centrar sobre cualquier punto por diferencias delanteras, posteriores, y centrales de la mezcla.

Características

Para todo el
positivo del
del k y del n \ Delta^n_ {KH} (f, x) = \ suma \ limits_ {i_1=0} ^ {k-1} \ suma \ limits_ {i_2=0} ^ {k-1}… \ suma \ limits_ {i_n=0} ^ {k-1} \ Delta^n_h (f, x+i_1h+i_2h+… +i_nh).
regla de Leibniz : \ Delta^n_h (fg, x) = \ suma \ limits_ {k=0} ^n \ binom {} \ Delta^k_h (f de n} {k, x) \ _h de Delta^ {n-k} (g, x+kh).

Métodos de diferencia finita

considera también:

l método de diferencia finita

Un uso importante de diferencias finitas está en el análisis numérico, especialmente en las ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas y las ecuaciones diferenciales parciales numéricas, que tienen como objetivo la solución numérica las ecuaciones diferenciales parciales ordinarias de y respectivamente. La idea es substituir los derivados que aparecen en la ecuación diferencial por las diferencias finitas que las aproximan. Los métodos resultantes se llaman los métodos de diferencia finita del .

Los usos comunes del método de diferencia finita están en ciencia de cómputo y la ingeniería disciplina, por ejemplo la ingeniería termal, los mecánicos flúidos, el etc.

Cálculo de diferencias finitas

considera también:

l operador de diferencia

La diferencia delantera se puede considerar como operador de diferencia, que traza el f de la función al h de Δ. Este operador satisface el \, \, del de Delta_h = de T_h-I donde está el operador T_h de cambio con el paso h, definido por el T_h (x) = f (x+h), y I es operador de identidad .

La diferencia finita de órdenes más altas se puede definir de manera recurrente como el \ Delta^n_h (f, x): = \ _h de Delta_h (\ de Delta^ {n-1} (f, x), x) o, en la notación de los operadores, \ Delta^n_h: = \ _h de Delta_h (\ de Delta^ {n-1}). Otra definición posible (y equivalente) es \ Delta^n_h = ^n.

El h de Δ del operador de diferencia es el linear y satisface la regla de Leibniz. Las declaraciones similares se sostienen para la diferencia posterior y central.

El teorema de Taylor se puede ahora expresar por la fórmula del

l \ + + \ frac12 de Delta_h = del hD h^2D^2 \ frac1 {3!} h^3D^3 + \ cdots = \ ^ del mathrm {e} {hD} - 1,

donde el D denota a operador derivado, trazando el f a su f derivado del . Formalmente invirtiendo el exponencial sugiere eso = \ registro (1+ \ Delta_h) del hD del del

l = \ - \ frac12 \ Delta_h^2 de Delta_h + \ frac13 \ Delta_h^3 + \ cdots. \,

Esta fórmula sostiene en el sentido que ambos operadores dan el mismo resultado cuando están aplicados a un polinomio. Incluso para las funciones analíticas, la serie a la derecha no se garantiza para converger; puede ser una serie asintótica . Sin embargo, puede ser utilizado para obtener aproximaciones más exactas para el derivado. Por ejemplo, la retención de los primeros dos términos de la serie rinde la aproximación second-order al f'(x) mencionado en el extremo de la sección '' diferencias Higher-order '' .

Las fórmulas análogas para los operadores de diferencia posterior y central son

hD = - \ registro () \ hD del patio de 1 \ nabla_h \ del mbox {y} \ del patio = 2 \, \ operatorname {arcsinh} (\ tfrac12 \ delta_h).

Generalizaciones

Una diferencia finita generalizada se define generalmente como el \ Delta_h^ \ MU del (x) = \ ^N del sum_ {k=0} \ el mu_k f (x+kh), donde está su vector el \ MU = (\ mu_0, \, \ mu_N de los ldots) de los coeficientes. Una diferencia infinita es otra generalización, donde la suma finita antedicha es substituida por una serie infinita . Otra manera de generalización está haciendo coeficientes que el \ mu_k depende del punto x: \ mu_k= \ mu_k (x), así considerando la diferencia finita cargada . También uno puede hacer que el paso h depende del punto x: h=h (x). Tales generalizaciones son útiles para construir diverso módulo de la continuidad .

Ver también


diferenciación numérica
Plantilla en cinco puntos
Diferencias divididas
Fórmula de Faulhaber
Módulo de la continuidad

.

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