En las matemáticas, el crecimiento exponencial (o el crecimiento geométrico ) ocurre cuando el índice de crecimiento de una función es siempre el proporcional al tamaño actual de la función. Tal crecimiento se dice para seguir una ley exponencial ; el modelo simple-exponencial del crecimiento se conoce como el modelo Malthusian del crecimiento. Para cualquier cantidad exponencial cada vez mayor, cuanto más grande la cantidad consigue, más rápida crece. La relación entre el tamaño de la variable dependiente y su índice de crecimiento es gobernada por una ley terminante de la clase más simple: Proporción directa . Se prueba en el cálculo que esta ley requiere que la cantidad sea dada por la función exponencial, si utilizamos escala de tiempo correcta. Esto explica el nombre.

Intuición

El crecimiento exponencial del de la frase es de uso frecuente en contextos no técnicos significar crecimiento simplemente asombrosamente rápido. En un sentido terminantemente matemático, aunque, el crecimiento exponencial del tiene un significado exacto y no significa necesario que sucederá el crecimiento rápidamente. De hecho, una población puede crecer exponencial pero a una tarifa absoluta del muy lento (como cuando el dinero en una cuenta bancaria gana una tarifa muy de bajo interés, por ejemplo), y puede crecer asombrosamente rápida sin el crecimiento exponencial. Y algunas funciones, tales como la función logística, crecimiento exponencial aproximado sobre solamente parte de su gama. El " details" técnico; la sección abajo explica exactamente qué se requiere para que una función exhiba crecimiento exponencial verdadero.

Pero el principio general detrás del crecimiento exponencial es que cuanto más grande un número consigue, más rápido crece. Cualquier número exponencial creciente crecerá eventual más grande que cualquier otro número que crezca solamente a una tarifa constante para la misma cantidad de tiempo (y también crecerá más grande que cualquier función que crezca solamente el subexponentially ). Esto es demostrada por la criba clásica en la cual ofrecen un niño dos opciones para un permiso semanal cada vez mayor: la primera opción comienza en 1 centavo y dobla cada semana, mientras que la segunda opción comienza en $1 y aumenta en $1 cada semana. Aunque la segunda opción, creciendo a un índice constante de $1/week, pague más a corto plazo, la primera opción crece eventual mucho más grande:

Detalles técnicos

Dejar el x ser una cantidad que crece exponencial con respecto al t del tiempo. Por definición, el índice del dx/dt del cambio obedece la ecuación diferencial : ¡ del

l \! \, \ frac {dx} {despegue} = k x

donde está el constante el ≠ 0 del k del de la proporcionalidad (relacionada con el medio numerar de descendiente por individuo en el caso de la población). (Véase la función logística para una corrección simple de este modelo del crecimiento donde no está constante el k ). ¡La solución a esta ecuación es el de la función exponencial \! \, x (e^ t)=x_0 {kt} -- por lo tanto el crecimiento exponencial (“e” del conocido que es un constante matemático ). ¡El constante \! \, x_0 es el tamaño inicial de la población.

A largo plazo, el crecimiento exponencial de la clase alcanzará crecimiento linear de la clase (la base de la catástrofe Malthusian ) así como cualquier crecimiento polinómico, es decir, para todo el α: del

l \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} {x^ \ alfa \ sobre Ce^x} =0

Hay una jerarquía entera de las tasas de crecimiento concebibles que son más lentas que exponenciales y más rápidamente que lineares (a largo plazo). Las tasas de crecimiento pueden también ser más rápidas que exponenciales. Los modelos lineares y exponenciales no son candidatos simplemente simples sino son los de la ocurrencia más grande en naturaleza.

En la ecuación diferencial antedicha, si el k < 0, entonces la cantidad experimenta el decaimiento exponencial .

Cantidades características de crecimiento exponencial

La ley del crecimiento exponencial se puede escribir en el diferente pero matemáticamente las formas del equivalente, usando una diversa base . Las formas mas comunes son las siguientes: x del

l (t) = e^ x_0 {kt} = e^ x_0 {t \ tau} = x_0 \ épocas 2^ {t/T}

x_0 \ (1 + \ frac {r} {100} \ derecho) ^t dejado,

donde como en el ejemplo sobre el x 0 expresa la cantidad inicial (es decir x ( t ) para el t = 0).

El k de la cantidad se llama el crecimiento constante del ; el r de la cantidad se conoce como la tarifa de crecimiento del (el por ciento aumenta por tiempo de unidad); el \ tau es el tiempo e-plegable ; y el T es el tiempo de duplicación . La indicación de una de estas cuatro cantidades equivalentes permite automáticamente calcular las tres otras, que son conectadas por la ecuación siguiente (que puede ser derivada tomando el logaritmo natural del antedicho): = \ frac del k del

l {1} {\ tau} = \ = \ ln del frac {\ ln 2} {T} \ ido (1 + \ frac {r} {100} \ derecho). \,

Un método aproximado popular para calcular el tiempo de duplicación de la tarifa de crecimiento es la regla de 70, i. T \ simeq 70/r (o mejor: T \ simeq 70/R+ 0.

Limitaciones de modelos exponenciales

Un aspecto importante sobre crecimiento exponencial es que incluso cuando parece lento en el a corto plazo, se convierte impresionante rápidamente en el duradero, con la cantidad inicial doblando en el tiempo de duplicación, entonces doblando repetidas veces. Por ejemplo, un índice del crecimiento demográfico de el 2% por año puede parecer pequeño, pero implica realmente la duplicación después de 35 años, doblando otra vez después de otros 35 años (es decir haciendo 4 veces la población inicial). Esto implica que ambas la cantidad observada, y su derivado del tiempo se convertirán en varias órdenes de la magnitud más grandes que qué fue significada inicialmente por la persona que concibió el modelo del crecimiento. Debido a esto, algunos efectos considerados no inicialmente torcerán la ley del crecimiento, moderándolo generalmente como por ejemplo en la ley logística. El crecimiento exponencial de una cantidad puesta en el mundo real (es decir no en el mundo abstracto de las matemáticas) es un modelo válido por un periodo de tiempo temporal solamente.

Por esta razón, alguna gente desafía el modelo del crecimiento exponencial porque es válido para el a corto plazo solamente, es decir el nada puede crecer indefinidamente . Por ejemplo, una población en un ambiente cerrado no puede continuar creciendo si come encima de todo el alimento y recursos disponibles; la industria no puede continuar bombeando el carbón del subterráneo en la atmósfera más allá de los límites conectados con los depósitos de aceite y de las consecuencias del cambio de clima . Los problemas de esta clase existen para cada representación matemática del mundo real, pero se sienten especialmente para el crecimiento exponencial, puesto que con este crecimiento modelo acelera como las variables aumentan de una regeneración positiva, a un punto donde el tiempo de reacción humano de incomodar puede ser escaso. En estos puntos, ver también las historias exponenciales del abajo.

Ejemplos del crecimiento exponencial

Biología . Los microorganismos en un plato de la cultura crecerán exponencial, al principio, después de que aparezca el primer microorganismo (pero por otra parte logísticamente hasta que se agote el alimento disponible, cuando las paradas del crecimiento).
Un virus ( SARS, el Nilo del oeste, viruela ) de la suficiente contagiosidad ( k > 0) se separará exponencial al principio, si no hay inmunización artificial disponible. Cada persona infectada puede infectar a nueva gente múltiple.
Población humana, si sigue habiendo el número de generación y muerte por persona por año era en los niveles actuales (pero también ver crecimiento logístico).
Muchas respuestas de seres vivos a los estímulos, incluyendo la opinión humana, son las respuestas logarítmicas, que son lo contrario de respuestas exponenciales; la intensidad y la frecuencia del sonido se perciben logarítmico, incluso con el estímulo muy débil, dentro de los límites de opinión. Ésta es la razón que exponencial aumentando el brillo de los estímulos visuales es percibido por los seres humanos como aumento linear, algo que un aumento exponencial. Esto tiene valor de la supervivencia. Es generalmente importante que los organismos respondan a los estímulos en una amplia gama de niveles, de niveles muy bajos, mismo a los niveles, mientras que la exactitud de la valoración de diferencias en los niveles del estímulo es mucho menos importante para la supervivencia.
Informática Capacidad de cálculo de computadoras. Ver también la ley de Moore y la singularidad tecnológica (bajo crecimiento exponencial, no hay singularidades. La singularidad aquí es una metáfora.
En la teoría de complejidad de cómputo, los algoritmos de la computadora de la complejidad exponencial requieren una cantidad exponencial del aumento de recursos (e. tiempo, memoria de computadora) para solamente un aumento constante de tamaño del problema. Tan para un algoritmo de la complejidad 2^x del tiempo, si un problema del tamaño x=10 requiere 10 segundos para terminar, y un problema del tamaño x=11 requiere 20 segundos, después un problema del tamaño x=12 requerirá 40 segundos. Esta clase de algoritmo llega a ser típicamente inutilizable en los tamaños muy pequeños del problema, a menudo entre 30 y 100 artículos (la mayoría de los algoritmos de la computadora necesitan poder solucionar problemas mucho más grandes, hasta diez de millares o aún de millones de artículos en épocas razonables, algo que sería físicamente imposible con un algoritmo exponencial). También, los efectos de la ley de Moore no ayudan a la situación mucho porque la velocidad de procesador de duplicación permite simplemente que usted aumente el tamaño del problema en un constante. si un procesador lento puede solucionar problemas del tamaño x a tiempo t, después de un procesador tan rápidamente podría solucionar dos veces solamente problemas del tamaño x+constant en el mismo tiempo T. Los algoritmos tan exponencial complejos son lo más a menudo posible imprácticos, y la búsqueda para algoritmos más eficientes es una de las metas centrales de informática.
Crecimiento del tráfico de Internet.
Inversión. El efecto del interés compuesto durante muchos años tiene un efecto substancial sobre ahorros y capacidad de una persona de retirarse. Ver también la regla de 72
La física Avería de avalancha dentro de un material dieléctrico . Un electrón libre se acelera suficientemente por un campo eléctrico externamente aplicado que libere para arriba electrones adicionales mientras que choca con los átomos o las moléculas de los medios dieléctricos. Estos electrones secundarios del también se aceleran, creando números más grandes de electrones libres. El crecimiento exponencial resultante de electrones y de iones puede llevar rápido para terminar la avería dieléctrica del material.
Reacción en cadena nuclear (el concepto detrás de las armas nucleares ). Cada núcleo de uranio que experimenta la fisión produce los neutrones múltiples que pueden ser absorbentes por los átomos de uranio adyacentes, causándolos a la fisión alternadamente. Si la probabilidad de la absorción de neutrón excede la probabilidad del escape del neutrón (una función de la forma y total del uranio), del k > 0 y así que del índice de producción de neutrones y de aumentos de uranio inducidos de las fisiones exponencial, en una reacción incontrolada.
de la comercialización de niveles múltiples los aumentos exponenciales de se prometen para aparecer en cada nuevo nivel del downline de un miembro que comienza mientras que cada miembro subsecuente recluta a más gente.

Historias exponenciales

Las características asombrosamente del crecimiento exponencial han fascinado a gente con las edades.

Arroz en un tablero de ajedrez

Un cortesano presentó a rey persa con un tablero de ajedrez hermoso, hecho a mano . El rey pidió qué él quisiera a cambio de su regalo y el cortesano sorprendió a rey pidiendo un grano de arroz en el primer cuadrado, dos granos en el segundo, cuatro granos en el tercer etc. El rey convino y pidió fácilmente el arroz ser traído. Todos fueron bien al principio, pero el requisito para los granos de 2^ {n-1} en el nth ajusta exigido sobre millón de granos en el 21ro cuadrado, más que un cuatrillón en el 41.o y allí no era simplemente bastante arroz en el mundo entero para los cuadrados finales. (De los prados y otros 1972, p.29 vía Porritt 2005) Para la variación de esto ver la mitad segundo del tablero de ajedrez en referencia al punto donde un exponencial que crece factor de comienza a tener un impacto económico significativo en la estrategia empresarial total de una organización.

El lirio de agua

Cuentan los niños franceses una historia en la cual se imaginen el tener de una charca con las hojas del lirio de agua que flotan en la superficie. La población del lirio dobla de tamaño diario y si está ido desenfrenado sofoca la charca en 30 días, matando el resto de cosas vivas en el agua. Día tras día la planta parece pequeña y así que se decide para dejarla para crecerlo hasta que mitad-cubra la charca, antes del corte detrás. Entonces se piden, en qué día que ocurrirá. Éste se revela para ser el 29no día, y entonces habrá apenas un día para ahorrar la charca. (De los prados y otros 1972, p.29 vía Porritt 2005)

Ver también

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Albert Bartlett
Arthrobacter
Crecimiento bacteriano
Crecimiento de la célula
Explosión de información
Ley de las vueltas de aceleración
Curva logística
Algoritmo exponencial
Notación asintótica
EXPSPACE
EXPTIME
Lista de los asuntos exponenciales

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