El cálculo ( latino, cálculo del, una pequeña piedra del usada para contar) es una rama de las matemáticas que incluyen el estudio de los límites, de los integrales de los derivados y de la serie infinita, y constituye a mayores partes de educación moderna de la universidad. Históricamente, fue referido a veces como " el calculus", solamente ese uso se considera raramente hoy. ¡definición " donde los datos infinitesimales rinden information." global; --> El cálculo tiene usos extensos en la ciencia y la ingeniería y se utiliza para solucionar los problemas complicados para los cuales la álgebra solamente es escasa. Los emplear del cálculo la álgebra, la trigonometría, y la geometría analítica e incluyen dos ramas importantes, el cálculo diferenciado y el cálculo integral, que son relacionados por el teorema fundamental del cálculo . En matemáticas más avanzadas, el cálculo se llama el análisis y se define generalmente como el estudio de las funciones .

Más generalmente, el cálculo del puede referir a cualquier método o sistema de cálculo.

Historia

¡ Atención; dejar las fechas como son. No somos realmente ése incomodados, pues la mayoría de wikipedia fecha el " del estado; BC". Apenas pensar en él como " Antes de Cronholm" :-)

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Desarrollo

considera también: Historia l cálculo

La historia del cálculo baja en varios plazos distintos, especialmente el antiguo, medieval, y períodos modernos . El período antiguo expuso algunas de las ideas del cálculo integral, pero no parece haber desarrollado estas ideas de una manera rigurosa o sistemática. Los volúmenes y las áreas calculadores, la función básica del cálculo integral, se pueden rastrear al papiro egipcio (C.), en el cual un egipcio resolvió con éxito el volumen de un tronco piramidal . De la escuela de las matemáticas griegas, Eudoxus (C.) utilizado el método de agotamiento, que prefigura el concepto del límite, para calcular áreas y volúmenes mientras que Archimedes (C.) convertido esta idea más lejos, inventando la heurística que se asemejan al cálculo integral . El método del agotamiento fue utilizado más adelante en el China por el Liu Hui en el ANUNCIO del siglo III para encontrar el área de un círculo. También fue utilizado por el Zu Chongzhi en el ANUNCIO del siglo V, que lo utilizó para encontrar el volumen de una esfera . Este eventual llevado Bhāskara II de la ecuación en el siglo XII para desarrollar un derivado temprano que representaba el cambio infinitesimal, y él describieron una forma temprana de " " del teorema de Rolle;. Alrededor del ANUNCIO 1000, del matemático islámico que el al-Haytham (Alhazen) de Ibn del era el primer para derivar la fórmula para la suma de las cuartas energías, y de usar la inducción matemática, él desarrolló un método para determinar la fórmula general para la suma de cuaesquiera energías integrales, que era fundamental al desarrollo del cálculo integral. En el siglo XII, el al-Tusi persa del al-Dinar de Sharaf del matemático descubrió el derivado de los polinomios cúbicos, un resultado importante en cálculo diferenciado. En el siglo XIV, el Madhava de Sangamagrama, junto con otros matemático-astrónomos de la escuela de Kerala de la astronomía y de las matemáticas, describió casos especiales de las series de Taylor, que se tratan en el Yuktibhasa texto.

En el período moderno, los descubrimientos independientes en cálculo eran hechos en el temprano Japón del siglo XVII, por los matemáticos tales como Seki Kowa, que se amplió sobre el método del agotamiento . En Europa, la segunda mitad del siglo XVII era una época de la innovación importante. El cálculo proporcionó una nueva oportunidad en la física matemática de solucionar problemas de muchos años. Varios matemáticos contribuyeron a estas brechas, notablemente Juan Wallis y carretilla de Isaac. El James Gregorio probó un caso especial del teorema en segundo lugar fundamental del cálculo en el ANUNCIO 1668.

El Leibniz y el Newton tiraron de estas ideas juntas en un entero coherente y se acreditan generalmente con la independiente y la invención casi simultánea del cálculo. Newton era el primer para aplicar cálculo a la física general y Leibniz desarrolló mucha de la notación usada en cálculo hoy; él pasó a menudo los días que determinaban los símbolos apropiados para los conceptos. La penetración básica que Newton y Leibniz tenían era el teorema fundamental del cálculo .

Cuando Newton y Leibniz primero publicaron sus resultados, había la gran controversia sobre la cual el matemático (y por lo tanto quien país) mereció crédito. Newton derivó sus resultados primero, pero Leibniz publicó primero. Newton demandó ideas de la estola de Leibniz de sus notas inéditas, que Newton había compartido con algunos miembros de la sociedad real. Esta controversia dividió a matemáticos de habla inglesa de matemáticos continentales durante muchos años, al detrimento de las matemáticas inglesas. Una examinación cuidadosa de los papeles de Leibniz y de Newton demuestra que llegaron sus resultados independiente, con Leibniz comenzando primero con la integración y Newton con la diferenciación. Hoy, dan Newton y Leibniz el crédito para el cálculo que se convierte independiente. Es Leibniz, sin embargo, que dio a nueva disciplina su nombre. Newton llamó su cálculo el " la ciencia del " de los flujos ;.

Desde la época de Leibniz y de Newton, muchos matemáticos han contribuido al desarrollo de continuación del cálculo. En el siglo XIX, el cálculo fue puesto en un pie mucho más riguroso por los matemáticos tales como Cauchy, Riemann, y Weierstrass . Era también durante este período que las ideas del cálculo fueron generalizadas al espacio euclidiano y al plano complejo . El Lebesgue fomenta generalizó la noción del integral.

El cálculo es un asunto ubicuo en la mayoría de las High Schools secundarias y de las universidades modernas, y los matemáticos en todo el mundo continúan contribuyendo a su desarrollo.

Significación

Mientras que algunas de las ideas del cálculo fueron desarrolladas anterior, en el Grecia, el China, el la India, el Iraq, Persia, y el Japón, el uso moderno del cálculo comenzó en el Europa, durante el siglo XVII, cuando Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz empleado el trabajo de matemáticos anteriores para introducir los principios de base del cálculo. Este trabajo tenía un impacto fuerte en el desarrollo de la física .

Los usos del cálculo diferenciado incluyen los cómputos que implican la velocidad y la aceleración, la cuesta de una curva, y la optimización . Los usos del cálculo integral incluyen los cómputos que implican el área, el volumen, la longitud de arco, el centro de masa, el trabajo, y la presión . Usos más avanzados incluyen las series de energía y las series de Fourier Del . El cálculo se puede utilizar para computar la trayectoria de un muelle de la lanzadera en una estación espacial o la cantidad de nieve en una calzada.

El cálculo también se utiliza para ganar una comprensión más exacta de la naturaleza del espacio, del tiempo, y del movimiento. Por siglos, los matemáticos y los filósofos lucharon con las paradojas que implicaban la división por cero o sumas infinitamente de muchos números. Estas preguntas se presentan en el estudio del movimiento y del área . El Zeno del filósofo del griego clásico dio varios ejemplos famosos de tales paradojas . El cálculo proporciona las herramientas, especialmente el límite y las series infinitas, que resuelven las paradojas.

Fundaciones

En matemáticas, las fundaciones del refieren al desarrollo riguroso de un tema de axiomas y de definiciones exactos. La elaboración de una fundación rigurosa para los matemáticos ocupados cálculo para mucho del siglo que sigue Newton y Leibniz y sigue siendo hasta cierto punto un campo de investigación activo hoy.

Hay más que uno acercamiento riguroso a la fundación del cálculo. El generalmente está vía el concepto de los límites definido en la serie continua de los números verdaderos que una alternativa es el análisis no estándar, en el cual el sistema de numeración verdadera se aumenta con el los números infinitos infinitesimales de y . Las fundaciones del cálculo se incluyen en el campo del análisis verdadero, que contiene definiciones y las pruebas completas de los teoremas del cálculo así como generalizaciones tales como teoría de medida y teoría de distribución .

Principios

Límites e Infinitesimals

considera también:

l límite (matemáticas) El cálculo es desarrollado generalmente manipulando cantidades muy pequeñas. Históricamente, el primer método de hacer tan estaba al lado de Infinitesimals que éstos son los objetos que se pueden tratar como los números pero que, en un cierto sentido, está el " infinitamente small". En una línea de número, éstas serían las localizaciones que no son cero, pero que tener distancia cero a partir de la cero. No hay número diferente a cero un infinitesimal, porque su distancia a partir de la cero es positiva. Cualquier múltiplo de un infinitesimal sigue siendo infinitamente pequeño, es decir los infinitesimals no satisfacen la característica de Arquímedes . De este punto de vista, el cálculo es una colección de técnicas para manipular infinitesimals. Este punto de vista bajó de favor en el siglo XIX porque es difícil hacer la noción de un infinitesimal precisa. Sin embargo, el concepto fue restablecido en el vigésimo siglo con la introducción del análisis no estándar, que proporcionó las fundaciones sólidas para la manipulación de infinitesimals.

En el siglo XIX, los infinitesimals fueron substituidos por límites que los límites de describen el valor de una función en cierta entrada en términos de sus valores en la entrada próxima. Capturan comportamiento en reducida escala, apenas como infinitesimals, pero usar números ordinarios. De este punto de vista, el cálculo es una colección de técnicas para manipular ciertos límites. Infinitesimals consigue substituido por números muy pequeños, y el comportamiento infinitamente pequeño de la función es encontrado tomando el comportamiento limitador para números más pequeños y más pequeños. Los límites son fáciles poner fundaciones rigurosas, y por esta razón son el acercamiento estándar al cálculo.

Derivados

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rivado El cálculo diferenciado es el estudio de la definición, de las características, y de los usos del derivado o de la cuesta de un gráfico. El proceso de encontrar el derivado se llama la diferenciación del . En lengua técnica, el derivado es un operador linear, que entra una función y hace salir una segunda función, de modo que en cada punto el valor de la salida sea la cuesta de la entrada.

El concepto del derivado es avanzado fundamental que los conceptos encontrados en álgebra. En álgebra, los estudiantes aprenden sobre las funciones que entran un número y hacen salir otro número. Por ejemplo, si la función de duplicación entra 3, entonces hace salir 6, mientras que si la función que ajusta entra 3, hace salir 9. Pero el derivado entra una función y hace salir otra función. Por ejemplo, si el derivado entra la función que ajusta, después él hace salir la función de duplicación, porque la función de duplicación da la cuesta de la función que ajusta en cualquier punto dado.

Para entender el derivado, los estudiantes deben aprender la notación matemática. En la notación matemática, un símbolo común para el derivado de una función es apóstrofe-como la prima llamada marca . Así el derivado del f es el f (prima del de f). La oración pasada del párrafo precedente, en la notación matemática, sería escrita

\ comenzar {alinear} f (x) del &= x^2 \ \ &= 2x de f '(x). \ extremo {alinear}

Si la entrada de una función es tiempo, después el derivado de esa función es la tarifa en la cual los cambios de función.

Si una función es el linear (es decir, si el gráfico de la función es una línea recta), después la función se puede escribir el y = MX del + el b, donde: m= \ frac del

l {\ mbox {subida}} {\ mbox {funcionamiento}} = {\ mbox {cambio adentro} y \ sobre \ mbox {cambio adentro} x} = {\ delta y \ encima {\ delta x}} .

Esto da un valor exacto para la cuesta de una línea recta. Si la función no es una línea recta, sin embargo, después el cambio en el y dividido por el cambio en el x varía, y podemos utilizar cálculo para encontrar un valor exacto en un punto dado. (Nota que el y y el f ( x ) representan para la misma cosa: la salida de la función.) Una línea a través de dos puntos en una curva se llama una línea secante. La cuesta, o la subida sobre funcionamiento, de una línea secante se puede expresar como

m = {f (x+h) - f (x) \ encima {(x+h) - x}} = {f (x+h) - f (x) \ encima {h}} \,

donde el coordina del primer punto son (el x, f ( x )) y el h es la distancia horizontal entre los dos puntos.

Para determinar la cuesta de la curva, utilizamos el límite del : del

l \ lim_ {h \ a 0} {f (x+h) - f (x) \ encima {h}} .

Resolviendo un caso particular, encontramos la cuesta de la función que ajusta en el punto donde está 3 la entrada y la salida es 9 (es decir, el f (x)=x^2, tan f (3)=9).

\ comenzar {alinear} f'(3)&= \ del lim_ {h \ a 0} {(3+h)^2 - 9 \ encima {h}} \ \ &= \ lim_ {h \ a 0} {9 + 6h + h^2 - 9 \ encima {h}} \ \ del &= \ del lim_ {h \ a 0} {6h + h^2 \ encima {h}} \ \ &= \ lim_ {h \ a 0} (6 + h) \ \ &= 6 \ extremo {alinear}

La cuesta de la función que ajusta en el punto (3, 9) es 6, es decir, va para arriba seis veces más rápidamente que va a la derecha.

Integrales

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integral

El cálculo integral es el estudio de las definiciones, de las características, y de los usos de dos conceptos relacionados, del integral indefinido del y del integral definido del . El proceso de encontrar el valor de un integral se llama la integración del . En lengua técnica, el cálculo integral estudia a dos operadores lineares relacionados

El integral indefinido es el antiderivative, la operación inversa al derivado. F es un integral indefinido del f cuando el f es un derivado del F. (este uso de las letras superiores y minúsculas para una función y su integral indefinido es común en cálculo.)

El integral definido entra una función y hace salir un número, que da el área entre el gráfico de la entrada y el X-axis . La definición técnica del integral definido es el límite de una suma de áreas de rectángulos, llamadas una suma de Riemann.

Un ejemplo de la motivación es las distancias viajó en un rato dado.

\ mathrm {distancia} = \ mathrm {} \ cdot \ mathrm {tiempo} de la velocidad

Si la velocidad es constante, sólo la multiplicación es necesaria, pero si la velocidad cambia, después necesitamos un método más de gran alcance de encontrar la distancia. Un tal método es aproximar la distancia viajó rompiendo para arriba el tiempo en muchos intervalos cortos del tiempo, después multiplicar el tiempo transcurrió en cada intervalo por una de las velocidades en ese intervalo, y entonces tomar la suma (una suma de Riemann) de la distancia aproximada viajó en cada intervalo. La idea básica es que si solamente transcurre un breve periodo de tiempo, después la velocidad permanecerá más o menos el igual. Sin embargo, una suma de Riemann da solamente una aproximación de la distancia viajó. Debemos tomar el límite de todas tales sumas de Riemann para encontrar que viajó la distancia exacta.

Si f (x) en el diagrama a la izquierda representa velocidad mientras que varía en un cierto plazo, la distancia viajó entre los tiempos representados por el un y el b es el área de la región sombreada S.

Para aproximar esa área, un método intuitivo sería dividir encima de la distancia entre el un y el b en un número de segmentos del igual, la longitud de cada segmento representó por el Δx del símbolo. Para cada pequeño segmento, podemos elegir un valor del f ( x ) de la función. Llamar ese h del valor. Entonces el área del rectángulo con el bajo Δx y el h de la altura da la distancia ( Δx del tiempo multiplicado por el h de la velocidad) viajó en ese segmento. Se asocia a cada segmento el valor medio de la función sobre él, f (x) =h. La suma de todos tales rectángulos da una aproximación del área entre el eje y la curva, que es una aproximación de la distancia total viajó. Un valor más pequeño para el Δx dará más rectángulos y en la mayoría de los casos una mejor aproximación, pero para una respuesta exacta necesitamos tomar un límite mientras que el Δx se acerca a cero.

El símbolo de la integración es el \ internacional \, , un alargado S (que representa " sum"). Se escribe el integral definido como: del

l \ int_a^b f (x) \, dx

y es el " leído; el integral del un al b del f - del x con respecto al x . "

Se escribe el integral indefinido, o el antiderivative: \ internacional f del

l (x) \, dx.

Desde el derivado del y de la función = el x ² + el C es el 2 x del y '= (donde está constante el C ) \ internacional 2x del

l \, dx = x^2 + C.

Teorema fundamental

considera también: Teorema fundamental l cálculo El teorema fundamental del cálculo indica que la diferenciación y la integración son operaciones inversas. Más exacto, se relaciona los valores de antiderivatives con los integrales definidos. Porque es generalmente más fácil computar un antiderivative que aplicar la definición de un integral definido, el teorema fundamental del cálculo proporciona una manera práctica de computar integrales definidos. Puede también ser interpretado como declaración exacta del hecho de que la diferenciación es lo contrario de la integración.

El teorema fundamental de los estados del cálculo: Si un f de la función es el continuo en el intervalo '' b '' y si el F es una función cuyo derivado es el f en el intervalo ( un, b ), entonces del \ ^ del int_ {a} {b} f (x) \, dx = F (b) - F (a). Además, para cada x en el intervalo ( un, b ),

\ frac {d} {} \ int_a^x f del dx (t) \, despegue = f (x).

Esta realización, hecha por el Newton y el Leibniz, que basaron sus resultados en trabajo anterior por la carretilla de Isaac, era dominante a la proliferación masiva de resultados analíticos después de que su trabajo se supiera. El teorema fundamental proporciona un método algebraico de computar mucho el integrals&mdash definido; sin la ejecución del processes&mdash del límite; encontrando las fórmulas para el Antiderivatives es también una solución del prototipo de una ecuación diferencial . Las ecuaciones diferenciales se relacionan una función desconocida con sus derivados, y son ubicuas en las ciencias.

Usos

El cálculo se utiliza en cada rama de las ciencias físicas en el de informática, estadísticas, ingeniería, economía, negocio, medicina, y en otros campos dondequiera que un problema pueda ser se desea el matemáticamente modelado y una solución óptima .

La física hace el uso particular de cálculo; todos los conceptos en los mecánicos clásicos se correlacionan con cálculo. La masa de un objeto de la densidad sabida, el momento de la inercia de objetos, tan bien como la energía total de un objeto dentro de un campo conservador se puede encontrar por el uso del cálculo. En los subcampos de la electricidad y del magnetismo el cálculo se puede utilizar para encontrar el flujo total de campos electromagnéticos. Un ejemplo más histórico del uso del cálculo en la física es ley de segundo de Newton del movimiento, él expreso utiliza el " del término; índice de change" cuál refiere al derivado: El el índice del de l cambio del ímpetu de un cuerpo es igual a la fuerza resultante que actúa en el cuerpo y está en la misma dirección. incluso la expresión común de Newton de la ley en segundo lugar como Force  =  Mass  ×  La aceleración implica cálculo diferenciado porque la aceleración se puede expresar como el derivado de la velocidad. La teoría del maxwell del electromagnetismo y la teoría de de Einstein de la relatividad general también se expresan en la lengua del cálculo diferenciado.

El cálculo se puede utilizar conjuntamente con otras disciplinas matemáticas. Por ejemplo, puede ser utilizado con la álgebra linear para encontrar el " el mejor fit" aproximación linear para un sistema de puntos en un dominio.

En el reino de la medicina, el cálculo se puede utilizar para encontrar el ángulo de ramificación óptimo de un vaso sanguíneo para maximizar flujo.

En la geometría analítica, el estudio de gráficos de funciones, cálculo se utiliza para encontrar el punto álgido y los puntos bajos (los máximos y los mínimos), cuesta, la concavidad y los puntos de la inflexión.

En la economía, el cálculo permite la determinación del beneficio máximo proporcionando una manera de calcular fácilmente el coste marginal y el rédito marginal .

El cálculo se puede utilizar para encontrar soluciones aproximadas a las ecuaciones, en métodos tales como método de Newton, iteración del punto fijo, y aproximación linear . Por ejemplo, uso de la nave espacial una variación del método de Euler a los cursos curvados aproximados dentro de ambientes de la gravedad cero.

Ver también

Listas

Lista de los asuntos básicos del cálculo
Lista de las ecuaciones y de las fórmulas básicas del cálculo
Lista de los asuntos del cálculo
Publicaciones en el cálculo
Tabla de los integrales

Asuntos relacionados

Cálculo con los polinomios
Geometría diferenciada
Matemáticas
Cálculo multivariable
Análisis no estándar
Precalculus (educación matemática )
Integrales del producto

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