En la lógica matemática, los axiomas de Peano del, también conocidos como los axiomas de Dedekind-Peano del o los postulados de Peano del, son un sistema de los axiomas para los números naturales presentados por el italiano José Peano del matemático del siglo XIX. Estos axiomas se han utilizado casi sin cambiar en un número de investigaciones metamathematical, incluyendo la investigación en cuestiones fundamentales de la consistencia y lo completo de la teoría de número .

La necesidad del formalismo en aritmética no estaba bien comprendida hasta el trabajo Hermann Grassmann, que demostró en los 1860s que muchos hechos en aritmética se podrían derivar de hechos más básicos sobre la operación del sucesor y la inducción . En 1888, el Richard Dedekind propuso una colección de axiomas sobre los números, y en 1889 Peano publicó una versión más exacto formulada de ellos como colección de axiomas en su libro, los principios de aritmética presentados por un nuevo método ( Principa de Árithmetices, exposita del methodo de la Nova ).

Los axiomas de Peano contienen tres tipos de declaraciones. Las primeras cuatro declaraciones son declaraciones generales sobre la igualdad ; en tratamientos modernos éstos a menudo se consideran los axiomas de la lógica pura. Los cuatro axiomas siguientes son declaraciones de primer orden sobre los números naturales que expresan las características fundamentales de la operación del sucesor. El noveno, axioma final es una declaración de la orden segundo del principio de la inducción matemática sobre los números naturales. Un sistema de primer orden más débil llamado Peano aritmético es obtenido substituyendo este axioma de inducción second-order por un esquema de primer orden del axioma.

Los axiomas

Cuando Peano formuló sus axiomas, la lengua de la lógica matemática estaba en su infancia. El sistema de notación lógica que él creó para presentar los axiomas no demostró ser popular, aunque fuera la génesis de la notación moderna para la calidad de miembro determinada (∈ del ε de Peano) y la implicación (⊃ C invertida de Peano de “"). Peano mantuvo una distinción clara entre los símbolos matemáticos y lógicos, que no era todavía campo común en matemáticas; tal separación primero introducted en el Begriffsschrift por el Gotlob Frege, publicado en 1879. Peano era inconsciente del trabajo de Frege y reconstruyó independiente su aparato lógico basado en el trabajo Boole y Schröder .

Los axiomas de Peano definen las características de los números naturales del, representadas generalmente como un determinado N o \ el mathbb {N}. los primeros cuatro axiomas describen la relación de la igualdad .

para cada x, x del número natural = x . Es decir, la igualdad es el reflexivo.

  • Para todo el x de los números naturales y el y, si x = y, entonces y = x . Es decir, la igualdad es el simétrico.
  • Para todo el x de los números naturales, el y y el z, si x = y y y = z, entonces x = z . Es decir, la igualdad es el transitivo.
  • Para todo el un y el b, si el un es un número natural y un = el b, después el b es también un número natural. Es decir, los números naturales son cerrados bajo igualdad.

    Los axiomas restantes definen las características de los números naturales. El constante 0 se asume para ser un número natural, y los productos naturales se asumen para ser cerrados bajo " successor" S de la función .

      value=" del 0 es un number. natural el
    1. For cada n, S ( n ) del número natural es un número natural.

    La formulación original de Peano de los axiomas utilizó 1 en vez de 0 como el " first" número natural. Esta opción es arbitraria, pues el axioma 5 no dota el 0 constante con ninguna características adicional. Sin embargo, porque 0 es la identidad aditiva en el aritmético, la mayoría de las formulaciones modernas de los axiomas de Peano empiezan con la 0. Los axiomas 5 y 6 definen una representación singular de los números naturales: el número 1 es el S (0), 2 es el S ( S (0)) (= S (1)), y, cualquier n del número natural es generalmente el n (0) del del S . Los dos axiomas siguientes definen las características de esta representación.

      value=" del For cada n, ≠ 0 del número natural del S ( n ). Es decir, no hay número natural cuyo sucesor es 0.
    1. For todo el m de los números naturales y n, si S ( m ) = S ( n ), entonces m = n . Es decir, el S es una inyección .

    Estos dos axiomas juntos implican que el sistema de números naturales es infinito, porque contiene por lo menos el subconjunto infinito {0, S (0), el S ( S (0)),…}, cada elemento cuyo diferencia del resto. El axioma final, a veces llamado el axioma del de la inducción, es un método de razonar sobre todos los números naturales; es el único axioma de la orden segundo.

      value=" del Si el K es un sistema tales que:
      el 0 está en el K, y
      para cada n del número natural, si el n está en el K, después el S ( n ) está en el K, entonces el K contiene cada número natural.

    El axioma de inducción se indica a veces en la forma siguiente:

    l si el φ es un predicado singular tales que:
    * φ (0) es verdades, y el
    * para cada n del número natural, si el φ ( n ) es verdad, entonces φ ( S ( n )) es verdad, el φ del
    entonces ( n ) es verdad para cada n del número natural.

    Las dos formulaciones son equivalent— El K es caracterizado al lado de φ— pero la 3ultima formulación es a menudo mejor adecuada para el razonamiento lógico.

    Aritmético

    Los axiomas de Peano se pueden aumentar con las operaciones de la adición y la multiplicación y el total generalmente que ordena (linear) en el N . Las funciones y las relaciones respectivas se construyen en la lógica Second-order, y se demuestran para ser únicas usar los axiomas de Peano.

    La adición es la función +: N (escrito en la notación de infijo generalmente ), definido recurrentemente del → del N del × del N como: el del \ comienza {alinear} a + 0 &= a, \ \ a + (S (b)) &= S (a + b). \ extremo {alinear} Por ejemplo, del + 1 = + S (0) = S ( + 0) = S ( un ). La estructura ( N, +) es un semigrupo comutativo con el elemento de identidad 0. ( N, +) está también un magma cancellative, y así el integrable en un grupo . El grupo más pequeño que encaja el N es los números enteros

    La adición dada, multiplicación es la función · : El N del → del N del × del N definió recurrentemente como: el del \ comienza {alinear} a \ del cdot 0 &= 0, \ \ a \ &= del cdot (S (b)) a + (a \ cdot b). \ extremo {alinear} Es fácil ver que 1 es la identidad multiplicativa : del un · 1 = un · ( S (0)) = + ( un · 0) = + 0 = un Por otra parte, el de la multiplicación distribuye sobre la adición de : del un · ( b + c ) = ( un · b ) + ( un · c ). Así, ( N, +, 0, ·, 1) es un comutativo Semiring .

    El ≤ generalmente de la relación de la orden del total: El N del × del N puede ser definido como sigue: para el un, N, del ∈ del b un b del ≤ de si existe un N del ∈ del c tales que + el c = el b . Esta relación es estable bajo la adición y multiplicación: para el un, b, N del ∈ del c, si un b del ≤ de, entonces:
    + b del ≤ del c + c, y
    un · b del ≤ del c · c .

  • Así, la estructura ( N, +, ·, 1, 0, ≤) es un semiring pedido ; porque no hay número natural entre 0 y 1, es el semiring pedido discreto. El axioma de la inducción se indica a veces en la forma fuerte del siguiente, haciendo uso de la orden del ≤: para cualquie φ del predicado, si el
    * φ (0) es verdades, y el
    * para cada n, N del ∈ del k, si el n del ≤ del k implica el φ ( k ) del es verdad, entonces φ ( S ( n )) es verdad, el
    entonces para cada N, φ ( n ) del ∈ del n es verdad. Esta forma del axioma de inducción es una consecuencia simple de la formulación estándar, pero es a menudo mejor adecuada por razonar sobre la orden del ≤. Por ejemplo, demostrar que los productos naturales son mdash Well-ordered ; cada subconjunto no vacío del N tiene un menos element— uno puede razonar como sigue. Dejar un no vacío N del ⊆ del X ser dado y asumir el X no tiene ningún menos elemento.
    Porque 0 es el menos elemento del N, debe ser ese 0 X del ∉.
    Para cualquier N del ∈ del n, suponer para cada n, X del ≤ del k del ∉ del k . Entonces el X del ∉ del S ( n ), porque serían de otra manera el menos elemento del X . Así, por el principio fuerte de la inducción, para cada N, X del ∈ del n del ∉ del n . Así, N del ∩ del X = ∅, que el contradice el X de que es un subconjunto no vacío del N . Así el X tiene un menos elemento.

    Modelos

    Un modelo de los axiomas de Peano es un triple ( N, 0, S ), donde el N un sistema infinito, 0 N del ∈ y el S : El N del → del N satisface los axiomas arriba. El Dedekind probó en su libro 1888, cuáles son números y qué debe ellos ser ( Era el und del sind era sollen muere Zahlen ) que cualquier dos modelos de los axiomas de Peano son el isomorfo: dado dos modelos ( A , 0 A del , A del del N del del S ) y ( B , 0 B del , B del del N del del S ) de los axiomas de Peano, el f del homomorfismo : El B del del N del → del A del del N definido como del \ comienza {alinear} de f (0_A) del &= 0_B \ \ &= de f (S_A (n)) S_B (f (n)) \ extremo {alinear} es un bijection . Los axiomas de Peano son así el categórico; éste no es el caso con ninguna reformulación de primer orden de los axiomas de Peano, sin embargo.

    Teoría de primer orden de la aritmética

    Las teorías de primer orden son a menudo mejores que las segundas teorías de la orden para el modelo o el análisis teórico de la prueba . Todas pero el noveno axioma (el axioma de inducción) son declaraciones en la lógica de primer orden . Las operaciones aritméticas de la adición y de la multiplicación y la relación de orden se pueden también definir usar axiomas de primer orden. El axioma second-order de la inducción se puede transformar en un esquema de primer orden de la inducción de un más débil; los primeros ocho de los axiomas de Peanos junto con el esquema de primer orden de la inducción formar una axiomatización de primer orden del llamado aritmético Peano aritmético (PA del ).

    El esquema de la inducción consiste en un sistema contable infinito de los axiomas . Para cada fórmula φ ( x, y 1,…, k del del y ) en lengua de Peano aritmética, de primer orden inducción axioma para φ es oración

    \ forall \ barra {y} (\ phi (0, \ barra {y}) \ tierra \ forall x (\ phi (x, \) \ Rightarrow \ phi (x+1, \ barra {y} de la barra {y})) \ Rightarrow \ forall x \ phi (, \ barra {y} de x)) donde está una abreviatura el \ la barra {y} para el y 1,…, el k
    del del y . El esquema de primer orden de la inducción incluye cada caso del axioma de inducción de primer orden, es decir, incluye el axioma de inducción para cada φ de la fórmula.

    Este esquema evita la cuantificación sobre los sistemas de números naturales, que es imposible en lógica de primer orden. Por ejemplo, no es posible en lógica de primer orden decir que cualquiera fijó de los números naturales que contenían 0 y se cerró debajo de sucesor es el sistema entero de números naturales. Qué puede ser expresada es que cualquier sistema definible de números naturales tiene esta característica. Porque no es posible cuantificar sobre subconjuntos definibles explícitamente con un solo axioma, el esquema de la inducción incluye un caso del axioma de inducción para cada definición de un subconjunto de los productos naturales.

    Axiomatizaciones equivalentes

    Hay mucho diferente, pero el equivalente, axiomatizaciones de la aritmética de Peano. Mientras que algunas axiomatizaciones, tales como la que está apenas descrita, describen solamente la operación del sucesor, otras axiomatizaciones describen directo las operaciones aritméticas. Una tal axiomatización comienza con los axiomas siguientes que describen un semiring pedido discreto. x, y, N del ∀ del ∈ del z . ( x + y ) + el z = el x + (el y + el z ), es decir, adición es el asociativo.

  • x, N del ∀ del ∈ del y . el x + el y = el y + el x, es decir, adición es el comutativo.
  • x, y, N del ∀ del ∈ del z . ( x · y ) · z = x · ( y · el z ), es decir, multiplicación es
  • asociativo x, N del ∀ del ∈ del y . x · y = y · el x, es decir, multiplicación es comutativo.
  • x, y, N del ∀ del ∈ del z . x · ( y + z ) = ( x · y ) + ( x · z ), es decir, la ley distributiva .
  • N del ∈ del x del ∀. x + 0 = x del ∧ del x · 0 = 0.
  • N del ∈ del x del ∀.
  • x, y, N del ∀ del ∈ del z . < del x ; < del y del ∧ del y ; x del ⊃ del z < z .
  • N del ∈ del x del ∀.
  • x, N del ∀ del ∈ del y . < del x ; x del ∨ del y = x del ∨ del y > y .
  • x, y, N del ∀ del ∈ del z . < del x ; x del ⊃ del y + z < y + z .
  • x, y, N del ∀ del ∈ del z . 0 < < del x del ∧ del z ; x del ⊃ del y · < del z ; y · z .
  • x, N del ∀ del ∈ del y . x < N del ∈ del z del ∃ del ⊃ del y .
  • 0 < 1 N del ∈ del x del ∀ del ∧. x > 0
  • del ≥ 1. del x del ⊃ N del ∈ del x del ∀. del x El sistema definido por estos axiomas se conoce como PA- ; El PA es obtenido agregando el esquema de primer orden de la inducción. Una característica importante de PA- es que cualquier M de la estructura que satisface esta teoría tiene un segmento inicial (pedido por el ≤) isomorfo al N . Los elementos del M \ N se conocen como elementos no estándar del .

    Modelos no estándar

    Aunque los números naturales generalmente satisfagan los axiomas del PA, hay el otro no estándar de los modelos del también; el teorema de la compacticidad implica que la existencia de elementos no estándar no se puede excluir en lógica de primer orden. El teorema ascendente de Löwenheim-Skolem demuestra que hay modelos no estándar del PA de todos los cardinalities infinitos. Éste no es el caso para los axiomas (second-order) originales de Peano, que tienen solamente uno modelo, hasta isomorfismo. Esto ilustra una forma que el sistema de primer orden PA es más débil que los axiomas second-order de Peano.

    Cuando está interpretado como prueba dentro de una teoría determinada de primer orden, tal como ZFC, prueba del categoricity de Dedekind para el PA demuestra que cada modelo de la teoría determinada tiene un modelo único de los axiomas de Peano, hasta el isomorfismo, que encaja como segmento inicial de el resto de los modelos del PA contenidos dentro de ese modelo de la teoría determinada. En el modelo estándar de la teoría determinada, este modelo más pequeño del PA es el modelo estándar del PA; sin embargo, en un modelo no estándar de la teoría determinada, puede ser un modelo no estándar del PA. Esta situación no se puede evitar con ninguna formalización de primer orden de la teoría determinada.

    Es natural preguntar si un modelo no estándar contable puede ser construido explícitamente. Es posible describir explícitamente el tipo de orden de cualquier modelo no estándar contable: es siempre ω + η (ω * + ω), que se pueden visualizar como copia de los números naturales siguió por ordenar linear densa de las copias de los números enteros. Sin embargo, el un teorema de Stanley Tennenbaum, probado en 1959, demuestra que no hay modelo no estándar contable del PA en el cual la adición o la operación de la multiplicación es el computable. Este resultado lo demuestra que es difícil ser totalmente explícito en la descripción de las operaciones de la adición y de la multiplicación de un modelo no estándar contable del PA.

    modelos Fijar-teóricos

    considera también: definición Fijar-teórica los números naturales Los axiomas de Peano se pueden derivar de las construcciones teóricas determinadas de los números naturales y de los axiomas de la teoría determinada tales como el ZF . La construcción estándar de los productos naturales, debido al John Von Neumann, empieza con una definición de 0 como el sistema vacío, el ∅, y s del operador en los sistemas definidos como: s ( del un ) = un ∪ de { un }. El sistema del N de los números naturales se define como la intersección de todos los sistemas cerrados bajo s que contengan el sistema vacío. Cada número natural es igual (como sistema) al sistema de números naturales menos que él: el del \ comienza {alinear} 0 &= \ del emptyset \ \ 1 0) = \ emptyset \ taza \ {\ emptyset del &= s (\} = \ {\ emptyset \} = \ {0 \} \ \ 2 &= \ {0, 1 \} \ \ 3 &= \ {0, 1, 2 \} \ extremo {alinear} y así sucesivamente. El N del sistema junto con 0 y el s de la función de sucesor: El N del → del N satisface los axiomas de Peano. ¡axioma del infinito de la teoría determinada. -->

    La aritmética de Peano es el Equiconsistent con varios sistemas débiles de teoría determinada. Un tal sistema es ZFC con el axioma del infinito substituido por su negación. Otro tal sistema consiste en la teoría determinada general ( Extensionality, existencia del sistema nulo, y el axioma de la adjunción ), aumentada por un esquema del axioma que indica que una característica que se sostiene para el sistema vacío y los asimientos de una adjunción siempre que se sostenga del adjunto debe sostenerse para todos los sistemas.

    Interpretación en teoría de la categoría

    Un modelo de los axiomas de Peano se puede también construir usar la teoría de la categoría. Dejar el C ser una categoría con el C del objeto 1 de la inicial, y definir la categoría de los sistemas singulares señalados, US1 ( C ) como sigue:
    Los objetos de US1 ( C ) son triples (, 0 X de X , X
    del del S ) donde está un objeto el X del C, y 0 el X : 1 X del del X y del S del → del C : El X del → del X es el C - morphisms.
    Un φ del morphism: (, 0 X de X , X
    del del S ) el → ( Y, 0 Y del , Y del del S ) es un C - φ del morphism: Y del → del X con el X del φ 0 = 0 Y y X del del S del φ = φ del Y del del S .

  • Entonces el C se dice para satisfacer los axiomas de Dedekind-Peano si US1 ( C ) tiene un objeto inicial; este objeto inicial se conoce como objeto del número natural en el C . Si ( N, 0, S ) es este objeto inicial, y (el, 0 X de X , X del del S ) es cualquier otro objeto, entonces el único u del mapa: ( N, 0, S ) el → (, 0 X de X , X del del S ) es tal que el del \ comienza {alinea} de u 0 &= 0_X, \ \ u (&= de S x) S_X (u x). \ extremo {alinear} Ésta es exacto la definición recurrente 0 del X y del X del del S .

    Consistencia

    considera también:

    l problema de Hilbert segundo Cuando los axiomas de Peano primero fueron propuestos, el Bertrand Russell y otros convino que estos axiomas definieron implícito lo que significamos por un " number" natural;. El Enrique Poincaré era más cauteloso, decir definieron solamente números naturales si eran el constante; si hay una prueba que sale apenas de estos axiomas y deriva una contradicción tal como 0 = 1, después los axiomas son contrarios, y no definen cualquier cosa. En 1900, el David Hilbert planteó el problema de probar su consistencia usar solamente métodos finitistic como el segundos de sus problemas veintitrés. En 1931, el Kurt Gödel probó su teorema del estado incompleto segundo, que demuestra que tal prueba de la consistencia no se puede formalizar dentro de la aritmética sí mismo de Peano.

    Aunque se demande extensamente que el teorema de Gödel elimina la posibilidad de una prueba finitistic de la consistencia para la aritmética de Peano, éste depende de exactamente qué una significa por una prueba finitistic. Gödel mismo precisó la posibilidad de dar una prueba finitistic de la consistencia de los sistemas aritméticos o más fuertes de Peano usando los métodos finitistic que no son formalizable en la aritmética de Peano, y en 1958 Gödel publicó un método para probar la consistencia de la aritmética usar el tipo teoría . En 1936, el Gerhard Gentzen dio una prueba de la consistencia de los axiomas de Peano, usar la inducción Transfinite hasta un llamado ordinal ε0 . Gentzen explicó: " La puntería del documento es probar la consistencia de la teoría de número elemental o, algo, reducir la cuestión de la consistencia a cierto principles" fundamental;. La prueba de Gentzen es discutible finitistic, puesto que el ordinal transfinite ε0 se puede codificar en términos de objetos finitos (por ejemplo, como máquina de Turing que describe una orden conveniente en los números enteros). Independientemente de si la prueba de Gentzen se encuentra los requisitos Hilbert previsto son confusos: no hay definición generalmente aceptada de exactamente qué es significada por una prueba finitistic, e Hilbert mismo nunca dio una definición exacta.

    La gran mayoría de matemáticos contemporáneos cree que los axiomas de Peano son constantes, confiando en la intuición o la aceptación de una prueba de la consistencia tal como prueba de Gentzen. El pequeño número de matemáticos que abogan los axiomas de Peano del rechazo de Ultrafinitism porque los axiomas requieren un sistema infinito de números naturales.

    Ver también

    Estado fundacional del aritmético
    Prueba de la consistencia de Gentzen
    Teorema de Goodstein
    Teorema de París-Harrington
    Pressburger aritmético
    Robinson aritmético
    Aritmética Second-order
    Aritmética no estándar
    definición Fijar-teórica de los números naturales

    Notas al pie de la página

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